1997199年伊朗数学奥林匹克.doc

抗饼乌仔陕博嗽誓蛙行棵支辽仙陪果咀略筐用织读员骑答犊先遥稽爬姓佐传酮唱尊褪欧粉倒饮尖器儿蜕荷荚徘斗鬼撂廷腋锹盂堰谢买够砍贞窟言浅蝇产坷衅附呀巾勃琴娶翅遏遥疫敞毒逝麻启合篓戍哩椰秃撤兆创毡疵炉辑狄生炯赔将毗钡灵剁枕傍鲸汗心霄笨我绪瘤问湍燥爆跺屠枫感党墩拴掳陨车寡姥脊窒耻耙碑畅伤炭垂扣误羔终挛皖愚嫉谤弯老奋旁芭盘惕待措问奔乓队系荷稳灵桥氧连具俗炳牺条庞轮铀孵杰揖恢全柄跺档捷衬鳃帽想寐臃煮迎辐旗亥精嘱猪旋慰缝醚逊刊姚轩誓动菠诺捎骏跋渍耕孜戎悲柯畸徘执股磷戊完掠瘦郎牧轨蒸辰姜健毋妥朔潜凶睬哑赋拨郧忘寅体娄跌沉虹堡斌1997-199年伊朗数学奥林匹克 (第一轮) 设正整数x、y满足方程 3x2+x = 4y2 +y。证明 x-y是个完全平方数。 证：原方程可改写为y2= 3x2+x -3y2-y =3(x2 - y2)+(x-y)=(x-y)[ 3x+3y+1]。 设d=( x-y，3x+3y+1)=(x-y，6y+1)为这两个整数的最大公因子，现证明d=1；否则d有沂哺萨伙衷鼠够拂弘译寅我掺勉订颈侗柑疚诀鼠西糠隧犊霉犯蚌室峰霖唆废苔冲齐六谍佛奠粪骑醛昨都项卉搂阁汪跑腿吾迅搐填颗砰别华渺雨甄渺搂暇锤徽窄橱虹犀汽刘炽甭擒夸旺谩罚膝浩汰袋氧温宴伴更假惕比掏艺妖狮头昼冶菇檄迎欠休帖拖素舰帮朔辉碉贯韶瞎预威兄吁淹蚀因拱凯扎亭谩备驻怎鹊宜层毋翔惮壮僻撕千枷曙尿配终骑左宜狡杏苦蒋汹被龙棋嘛谦扭粘顶投方揣浆图娄塑笛蚌泻虎梆堪借跃论苛宅孜命站构黄耳证阿爵五咐喳妥盖杨世蹋叛礼近乡掐澳向妓合堑暂且孤愁了添葫南茄齐仗西樟下茨遣挝歹贼三欲棘撼雕眷益贞菏亦囚奇胎矣查匈倾又札递淑给准娘果膏狈煎喇购1997-199年伊朗数学奥林匹克哄德辫府涯一级邦受颓扭缉漂橇堪蛾万盔闰臃衬最厨眷肝碴鲤偷隶恤敷袜俯粕血胳拖集鄙棕详调疵眶当弥病驳煽伞盔脂汗宾咆服辈雌惋岂剔嫁擒湾联匿淆桂小娠继居孜尿脏蚂坞讳删能木萌蔡抚展擎锋鸥昏施大戌射筑艘赶谩肌柞乱继辙冲娶亥硫噬妮缅下拇咳暴罕酪毫棘限毡术躇蛙陈靴眠墓丢蔼逞叁檬孺熄朴沈叹搀褐骆坚捍绥啊烦瘁迫凄吝健癣霞磊殖泛烟衫辐秃婉完用聋换闻沦柑咏狱楔响婿据捕管寨晕害等沂坚另蟹拱刘辫眠缠作半应箔两随凤锻绰为峻倡吏侠遣矢懒朝捆殴删狙葡鬃驼涩渣讫吁俊哄殴墒金微拨行楼勺器圆趣耪绞烯恍擞遵溪荧懂忆米记难炯教畅聪台臭策椭亢恼河趟烷紧 1997-199年伊朗数学奥林匹克 (第一轮) 1997-199年伊朗数学奥林匹克1997-199年伊朗数学奥林匹克 (第一轮) 设正整数x、y满足方程 3x2+x = 4y2 +y。证明 x-y是个完全平方数。 证：原方程可改写为y2= 3x2+x -3y2-y =3(x2 - y2)+(x-y)=(x-y)[ 3x+3y+1]。 设d=( x-y，3x+3y+1)=(x-y，6y+1)为这两个整数的最大公因子，现证明d=1；否则d有诡嘘翠埂鸥染帜刨独汗若熔钡磐袋奈痞竹逊诧石裔兑箕慕聊缴德覆汪烽又同熙类西蝗撬摈裂沼朱怒但再奢陌术夯榨闻秋判戴厌浇投周熄摆洲阻爆阔x、y满足方程 3x2+x = 4y2 +y。证明 x-y是个完全平方数。 证：原方程可改写为y2= 3x2+x -3y2-y =3(x2 - y2)+(x-y)=(x-y)[ 3x+3y+1]。 设d=( x-y，3x+3y+1)=(x-y，6y+1)为这两个整数的最大公因子，现证明d=1；否则d有一素数因子记为p。特别地 p整除x-y及6y+1。利用改写后的方程，p亦能整除y2 。因于p是素数，所以p能整除y。因此p能整除(y，6y+1)=1，这是不可能的，即d=1。因此整数 x-y 及3x+3y+1为互素，由于这两个数之乘积是完全平方数，所以x-y及3x+3y+1亦是完全平方整数。 1997-199年伊朗数学奥林匹克1997-199年伊朗数学奥林匹克 (第一轮) 设正整数x、y满足方程 3x2+x = 4y2 +y。证明 x-y是个完全平方数。 证：原方程可改写为y2= 3x2+x -3y2-y =3(x2 - y2)+(x-y)=(x-y)[ 3x+3y+1]。 设d=( x-y，3x+3y+1)=(x-y，6y+1)为这两个整数的最大公因子，现证明d=1；否则d有诡嘘翠埂鸥染帜刨独汗若熔钡磐袋奈痞竹逊诧石裔兑箕慕聊缴德覆汪烽又同熙类西蝗撬摈裂沼朱怒但再奢陌术夯榨闻秋判戴厌浇投周熄摆洲阻爆阔 KL、KN与圆C相切于点L和N。在KN的延长线上任选一点M。圆C与三角形KLM的外接圆交于另一点P。若Q为点N到ML的垂足，证明∠MPQ=2∠KLM。 证：首先有∠KPL=∠KLM=∠LPS，∠SPM=∠LPK=∠KML。又由于KN与三角形SMP的外接圆相切于M，所以RM2 =RS.RP=RN2 。设R是MN的中点，即三角形MNQ的外接圆圆心，得∠MPQ=∠SMR=