数理统计部分习题答案.docVIP

数理统计习题解答 第五章 1．设随机变量X和Y相互独立都服从,而和分别来自正态总体X和Y的样本。则统计量 服从__t____分布，参数为__16____。 解：由于~，而~，~，根据t分布的定义， 2、设是来自正态总体的简单随机样本。 ，则当,时，统计量x服从分布。其自由度为_____。 解：统计量量x服从分布。只有当与都服从标准正态分布时，x才服从，因为，则有，，， [] = 20a = 1，而从 。 同理：，所以， 所以 3、设是来自正态总体的简单随机样本。其中未知，则下面不是统计量的是（D） A、 B、 C、 D、 4、设是的样本。的期望为，且，则有：（B） A、 B、 C、 D、 5、设总体，从总体取一个容量为6的样本。设 。试决定常数C，使得随机变量CY服从分布。 解：因为，所以，， 从而 ，同理 ， 由分布的性质可知：，所以。 6、设总体x任意，期望为，方差为，若至少以95%的概率保证。问：总体样本容量应该多大？ 解：因为n很大时，近似服从，由题设有 由，反查正态分布表得，，故样本容量至少取385才能满足要求。 7、利用切比雪夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9？如何才能更精确的计算使概率接近0.9，而抛得次数是多少？ 解：设需抛钱币次数n次，又设第i次抛钱币时 则独立同分布，分布为，，，， 是样本均值，则，。由切比雪夫不等式 所以，即抛250次钱币可保证，利用中心极限定理： 由，反查正态分布表得，即，只需抛68次即可。 8、设总体为指数分布，分布密度为，求，，? 解：， ， ，，， 第六章 设总体X在区间上服从均匀分布，则未知参数的矩估计量为_____。 解：X的概率密度为 从而，即：，故的矩阵估计量为。 设总体，未知，已知，为使总体均值的置信度为的置信区间的长度不大于L，则样本容量n至少应为________。 解：由题可知，的置信度为的置信区间为。其长度不大于L，即为，， 故填：，为取整函数。 设总体，其中已知，则总体均值的置信区间长度L与置信度的关系是( A )。 （A）当缩小时，L缩短。 (B)当缩小时，L增大。 （C）当缩小时，L不变。 (D)以上说法都不对。 解：由题设，已知，的置信度为的置信区间为则其区间长度为，其中为标准正态分布的上侧的分位数，当缩小时，即增大，减小，而不变。故区间长度L缩短，选（A）。 设总体，其中未知，若样本容量n的置信度均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度为（D） (A) 变长 （B）变短 （C）不变 （D） 不能确定 解：因为，则，故的置信度为的置信区间是，长度为。由于样本容量n和置信度不变。故区间长度仅与s有关，对于不同的样本观察值。S如何变化不确定，因而其长度不能确定。故选（D）。 设随机变量X的概率密度为，，。是容量为n的子样，试求的极大似然估计。 解：似然函数为，对似然函数取对数，并求导数，令其等于0，可得 即 ，故得极大似然估计为 。 6、设是来自参数为的泊松分布的简单随机样本，试求的无偏估计量。 解：因x参数为的泊松分布，故 ，， 即，，用样本矩，代替相应的总体矩，，使得到的无偏估计量，， 因此，的无偏估计量。 7、 解：似然函数为 8、解：似然函数为 9、解：设每次取样结果用表示，令 似然函数为 10、解：=，令 ， 解得。 11、解：似然函数为 ， ， ， （无解），但由， 故为极大似然估计。 第七章 假设检验 1、某种产品以往的废品率为5%，采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显著水平，则此，设题的原假设：______ 备择假设：______.犯第一类错误的概率为_______。 解：由题意可知原假设：P=5%。备择假设：P5%。犯第一类错误是指为真的情况下，把拒绝。这种错误也称拒真错误。其犯第一类错误的概率为。 2、设总体，方差未知，对假设：，：，进行假设检验，通常采取的统计量是________，服从_______分布，自由度是________。 解：通常采取的统计量是 这里 。服从t分布，自由度是n-1。 3、设总体，和均未知。统计假设取为： ： 若用t检验法进行假设检验，则在显著水平之下，拒绝域是（B） A、 B、 C、 D、 4、在假设检验中，原假设，备择选择，则称（ B ）为犯第二类错误 A、为真，接受 B、不真，接受 C、为真，