数学破题36计(29-32).docVIP

第29计 向量开门 数形与共 ●计名释义 非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表. 向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人. ●典例示范 【例1】 α,β为锐角，且sinα-sinβ=,cosα-cosβ=，求tan(α-β)之值. 【解答】 如图，设A(cosα,sinα), B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点， 由条件知：0αβ. 那么： =（cosα- cosβ,sinα- sinβ） =. ∴||=，||=||=1. 例1题解图 △OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =. ∴sin(α-β)=,tan(α-β)=. 【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量 模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例. 【例2】 设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤ 【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|·|n|= ∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|. ∴ac+bd≤. 【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几 何中又能起作用吗? 【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC1之长为 . 【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事? 向量的数量积公式可以保驾护航. 对！走向量法解题的道路. 【解答】 如图所示， ∴ = =1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6 ∴||=. 例2题解图 【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是||2=的运用奇妙.注意：与所成角等于与所成角，是60°而不是120°. ●对应训练 1如图,在棱长为a的正方体 ABCD—A′B′C′D′中，E、F 分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF. (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时， 求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图 2已知a,b∈R+，且a≠b，求证：(a3+b3)2(a2+b2)(a4+b4). 3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上. ●参考答案 1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a). ∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0， ∴⊥. (2)VB′—BEF=S△EEF·||=·(a-x)·x·a =a(a-x)·x≤a·， 当且仅当a-x=a，即x=时, (VB′—BEF)max =， 此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD. 设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图 由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角, 设为θ,∵||= ∴tanθ=. 即θ=arctan2，则二面角B′—EF—B的大小为arctan2. 2设m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m·n≤|m|·|n|. ∴a3+b3≤，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4). 3如图,设A(x1,)，B(x2,), C(x3，)，△ABC的垂心为H(x0，y0), 则, , 第3题解图 ∵,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·. ∵x1≠x2，∴x0-x3. ∴x0+ (1) 同理：x0+. ∴x2-x1=y0. ∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代