理论力学第十四章虚位移原理剖析.ppt

§14–3 虚位移 将C、A、B点的坐标表示成 广义坐标? 的函数，得 2、解析法 对广义坐标 ? 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影： §14–4 理想约束 一、虚功 力 在质点发生的虚位移 上所作的功称为虚功，记为 。 二、理想约束（书p257) 如果约束力在质点系的任何虚位移上的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。 质点系受有理想约束的条件： §14–4 理想约束 理想约束的例子： 1、光滑支承面 2、光滑铰链 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动 一般，没有摩擦的约束都属于此类 §14–5 虚位移原理 一、虚位移原理（虚功原理） 具有双面、理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即 解析式： 此方程又叫静力学普遍方程 §14–5 虚位移原理 证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 ∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。 对质点Mi 的任一虚位移 ，有 由于是理想约束 所以 对整个质点系： §14–5 虚位移原理 (2) 充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。 若 ，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。 在 方向上产生实位移 ，取 ，则 对质点系： (理想约束下， ) 与前题条件矛盾 故 时质点系必处于平衡。 §14–5 虚位移原理 A B F F 2l 例2、如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶（F，F ），其力偶矩等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。 §14–5 虚位移原理 图 §14–5 虚位移原理 研究以手柄、螺杆和压头组成的平衡系统。若忽略螺杆和螺母间的摩擦，则约束是理想的。 计算所有主动力在虚位移中所作虚功的和，列出虚功方程 给系统以虚位移，将手柄按螺纹方向转过极小角δφ，于是螺杆和压头得到向下位移δs。 作用于平衡系统上主动力为：作用于手柄上的力偶(F，F)，被压物体对压头的阻力FN。 FN A B F F FN 2l δφ δs 解： §14–5 虚位移原理 将上述虚位移δs与δφ的关系式代入虚功方程中，得 由机构的传动关系知：对于单头螺纹，手柄AB转一周，螺杆上升或下降一个螺距h，故有 即 解得 因δφ是任意的，故 所求的压力与阻力的大小相等、方向相反。 FN A B F F FN 2l δφ δs §14–5 虚位移原理 例3、曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度φ和ψ。OA=r，AB=l。不计机构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。 O A B φ ψ r FA FB §14–5 虚位移原理 图 §14–5 虚位移原理 O A B φ ψ r FA FB 解： 以δrA　和δrB　分别代表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位移，如图所示。 可见 A，B 两点的虚位移大小之比等于 根据虚位移原理的平衡方程，有 从而解得 δrA　 δrB　 因 AB 是刚杆，两端位移在 AB 上的投影应相等，即 几何法 §14–5 虚位移原理 例4、已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束反力FBx。 A B C D E G F θ θ §14–5 虚位移原理 图 §14–5 虚位移原理 解析法 （1）系统自由度k=1 （2）以θ 为广义坐标 （3） B，G两点的坐标分别为 （4）对以上各式取变分，有 用约束力FBx代替水平约束，并将FBx当作主动力。 解： A B C D E G F θ θ x FBx y （5）由虚功方程： 由 的任意性 δxB δyG §14–5 虚位移原理 例5、如图所示为连续梁。载荷 F1= 800 N ， F2= 600 N ， F3= 1000 N ，尺寸a= 2 m ， b= 3 m ，求固定端A的约束力。 a a a a a a b A B C D E F G H F