华南理工大学2010年数学竞赛试卷.doc

姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线……………………………………… _____________ ________ … 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 8 大题，满分100分， 考试时间120分钟。 一、计算下列各题 （每小题6分，本大题共36分） 求极限 解 原式 求极限 解 由于 故 ,从而由夹逼准则 求极限,其中为不超过的最大整数. 解 由于 故由夹逼准则 在原点附近,试用一个二次多项式近似代替函数 解 由于 从而可用泰勒多项式近似为 计算 解 由 可得 计算,其中为球面与平面的交线 解 ,由曲线的轮换对称性可得 二、（本题8分）设在点附近有定义，且在点可导,,求。 解：原式 三、（本题10分）证明满足关系式 证 设,则 两边再求阶导数,得 从而 因为 故 四、（本题10分）设函数在上连续，在内可微, 且。证明：(1)存在使得; (2)存在使得 证 (1)设,则在上连续， 且,从而有零点定理,存在使得; (2)设,则在上连续，在内可微, 且 由罗尔定理,存在使得,即 五、（本题10分）已知满足,求 解 从而 , 从而代入, 解之得 六、（本题10分）设在区域上有连续偏导数,且满足关系式, 证明：（1）等式成立，其中曲线为区域的边界，为的外法线方向；（2）若在上恒等于零，则在区域内也恒等于零 证 （1）设单位切向量为，则外法线单位法向量为， 从而 等式左边 由格林公式，等式左边 再由已知可得，左边=右边 （2）由已知 从而为常数，再由于边界上， 因此 七、（本题8分）计算。其中是的上侧 解 取下侧 则 原式 七、（本题8分）假定一个半径为的雪球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为。已知两小时内融化其体积的四分之一，问剩余部分需要多少小时才能全部融化。 解 由已知， 令时，则 由已知时，得， ， 从而，从开始到全部融化所需时间为 两小时起剩余部分需要小时能全部融化