高中等差数列的前n项和·例题解析.doc

等差数列的前n项和·例题解析 ? 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 解得a1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135 ∴a6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提． 【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解 由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3 若am＝bN，则有3n－1＝5N－3 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)． 又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴ 两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】 选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为 [ ] A．1，3，5 　　B1，3，7 C．1，3，99 　D1，3，9 又∵ 14＝5a＋3b， ∴ a＝1，b＝3 ∴首项为1，公差为2 ∴a50=c=1＋(50－1)·2=99 ∴ a＝1，b＝3，c＝99 【例4】 在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数． 解 依题意2＝1＋(2n＋2－1)d 　　　　　　　　　　　　　　　　　 由①，有(2n＋1)d=1 　　　　　　　　　 ∴ 共插入10个数． 【例5】 在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n． 且Sm＝Sn，m≠n ∴Sm+n＝0 【例6】 已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn． d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来． 解方程组得：d＝－2，a1＝9 ∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11 其余各项为负．数列{an}的前n项和为： ∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n 当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn ∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50 说明 根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和． 【例7】 在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和． 解法一 由a6＋a9＋a12＋a15＝34 得4a1＋38d＝34 ＝20a1＋190d ＝5(4a1＋38d)=5×34=170 由等差数列的性质可得： a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20 ∴a1＋a20=17 S20＝170 【例8】 已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值． 解法一 设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得 由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4 再由d＞0，得d＝2 ∴a1=－10 最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180 解法二 由等差数列的性质可得： a4＋a6＝a3＋a7 即a3＋a7＝－4 又a3·a7=－12，由韦达定理可知： a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根 解方程可得x1=－6，x2＝2 ∵ d＞0 ∴{an}是递增数列 ∴a3＝－6，a7=2 【例9】 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 [ ] ∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199 解法二 利用数列{an}为等差数列的充要条件：Sn＝an2＋ bn 可设Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k 说明 该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由 k是常数，就不对了． 【例10】 解答下列各题： (1)已知：等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9； (2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数； (3)已知：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20； (4)已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．