数理方程4.ppt

代入Bessel 方程，合并同类项得： 比较等式两边系数，可得一系列方程： 第二个方程 (1) 、先取 ，递推公式成为 因此贝塞尔方程的一个特解为: 该级数的收敛半径为: 通常取： 因此只要 有限，级数就是收敛的。 此时把这个解称为n阶第一类贝塞尔函数，记为： (2)、再取 ，递推公式成为 因此贝塞尔方程的另一个特解为: 该级数的收敛半径为: 因此只要 有限，级数就是收敛的。通常取 此时把这个解称为-n 阶第一类贝塞尔函数，记为： 因此，n阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加 ： 可证明，当n为整数时， 与 线性相关，而当n不为整数 时，他们线性无关。 贝塞尔方程对应 的特解为： 贝塞尔方程对应 的特解为： 只要 ，则 是负整数 负整数的 函数为无限大 证明:当n为整数时， 与 线性相关 当 n 为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的 不能表示为n阶Bessel方程的解 若取 ： 代入通解中可以得到另外一个特解 ，该特解可以作为n阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数: 因此n阶贝塞尔方程的通解还可以写成 ： 不论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！ 当n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解 ！ （2）在 的邻域上求解 阶贝塞尔方程： 解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得 * Nanjing University of Posts and Telecommunications * 数 学 物 理 方 程 主讲：王 正 斌 E_mail: wangzb@njupt.edu.cn BBS:科技教育/物理研究 答疑：周二下午3：30～5：00，教2＃605室 南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系 第四章、特殊函数常微分方程 勒让德方程 贝塞尔方程 勒让德多项式 贝塞尔函数 在球坐标系解三类偏微分方程： 在柱坐标系解三类偏微分方程： 拉普拉斯方程的一般形式为 1、在球坐标系下， 表示为： 解：设分离变量形式的试探解 代入方程得到 一、勒让德方程的导出 式中第一个方程为欧勒型常微分方程,解得 第二个方程为球函数方程，对该方程继续做分离： 代入球函数方程得到 式中第一个方程由自然边界条件 构成本征值和本征函数 第二个方程可以改写为 令 该方程称为 阶连带勒让德方程或 阶缔合勒让德方程。 如果球坐标的极轴为对称轴 阶勒让德方程 在柱坐标系下解 拉普拉斯方程： 分离变量得 二、贝塞尔方程的导出 n阶贝塞尔方程 (1) 情况。作代换 ，则得 (2) 情况。作代换 ，则得 n阶虚宗量贝塞尔方程 三、亥姆霍兹方程 (a)、三维波动方程为: 设分离变量解为: 代入方程，并移项得到： 得 Helmholtz Equation （b)、三维输运方程为： 分离时间变量和空间变量，得： 代入方程，并移项得到 ： 得 Helmholtz Equation 在球坐标系下解亥姆霍兹方程： 亥姆霍兹方程： 在球坐标系下的形式为： 分离变量，得： 展开得 球 贝 塞 尔 方 程 阶贝塞尔方程 在柱坐标系下解亥姆霍兹方程： 利用柱坐标系的Laplace方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达式: 分离变量，得： 代入原方程得： 记常数 ，也即 ，那么上面第三个方程可以写成： 对自变量做变换 ，那么上式变成 该式即为n阶Bessel方程。 幂级数展开 定义：各项均为幂函数 的无穷级数： 称为以 为展开中心的幂级数。其中 都是复常数。 1、达朗贝尔判别法：若 则幂级数绝对收敛。 敛散性： 2、根值判别法：若 ，则幂级数绝对收敛； 泰勒(Taylor)级数展开 洛朗(Laurent)级数展开 幂级数展开 泰勒(Taylor)级数展开 可展开为幂级数 称为泰勒展开系数。 泰勒(Taylor)定理：若 在 内解析，则在此圆内， ，其中 为圆周 ，且展开唯一。(要多精确有多精确) 解析：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z) 在z0点解析。 几个基本初等函数的泰勒展开式： 解析函数：若函数f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。 洛朗(Laurent)级数展开 洛朗(Laurent)定理：设 在环形区域 则对环域上任一点 可展为幂级数 ，其中 一周的任一闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。 的内部单值解析， ，积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园 洛朗(Laurent)级数展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将 非奇异项展开为Tay