数列知识点梳理及解题方法归纳.doc

数列知识点和常用的解题方法归纳 一、 等差数列的定义与性质 （比例中项性质） 0的二次函数） 项，即： 二、等比数列的定义与性质 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法 2、； 3、求差（商）法 解： ， ， ［练习］ 4、叠乘法 解： 5、等差型递推公式 ［练习］ 6、等比型递推公式 ［练习］ 7、倒数法 ， ， ， 三、 求数列前n项和的常用方法 1、公式法：等差、等比前n项和公式 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 解： ［练习］ 3、错位相减法： 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 4、分组转化法（第一课有例题） ［练习］ 例1设{an}是等差数列，若a2=3，a=13，则数列{an}前8项的和为（ ） A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题） 略解：∵ a2 +a= a+a=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C． 例2 已知等比数列满足，则（ ） A．64 B．81 C．128 D．243 （全国Ⅰ卷第7题） 答案：A． 例3 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ） A．30 B．45 C．90 D．186 （北京卷第7题） 略解：∵a-a=3d=9，∴ d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C． 例4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ） A．2 B．3 C．6 D．7 （广东卷第4题） 略解：∵,故选B. 例5在数列中，，，,其中为常数，则 ．（安徽卷第15题） 答案：－1． 例6 在数列， ，（ ） A． B． C． D．中，，则通项 ___________．（四川卷第16题） 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口． 略解：∵ ∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1． 例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆卷第10题) 答案：B． 使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习． 例9 已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1. （福建卷第20题） 略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵. bn?bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ bn·bn+2＜b． 对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明： ∵ b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝