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数列知识点梳理及解题方法归纳
数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义与性质
(比例中项性质)
0的二次函数)
项,即:
二、等比数列的定义与性质
三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、;
3、求差(商)法
解:
, ,
[练习]
4、叠乘法
解:
5、等差型递推公式
[练习]
6、等比型递推公式
[练习]
7、倒数法
,
,
,
三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法:等差、等比前n项和公式
2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
解:
[练习]
3、错位相减法:
4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
4、分组转化法(第一课有例题)
[练习]
例1设{an}是等差数列,若a2=3,a=13,则数列{an}前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56 (福建卷第3题)
略解:∵ a2 +a= a+a=16,∴{an}前8项的和为64,故应选C.
例2 已知等比数列满足,则( )
A.64 B.81 C.128 D.243 (全国Ⅰ卷第7题)
答案:A.
例3 已知等差数列中,,,若,则数列的前5项和等于( )
A.30 B.45 C.90 D.186 (北京卷第7题)
略解:∵a-a=3d=9,∴ d=3,b=,b=a=30,的前5项和等于90,故答案是C.
例4 记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差( )
A.2 B.3 C.6 D.7 (广东卷第4题)
略解:∵,故选B.
例5在数列中,,,,其中为常数,则 .(安徽卷第15题)
答案:-1.
例6 在数列, ,( )
A. B. C. D.中,,则通项 ___________.(四川卷第16题)
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住中系数相同是找到方法的突破口.
略解:∵ ∴,,,,,,.将以上各式相加,得,故应填+1.
例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9 (重庆卷第10题)
答案:B.
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、理科考生在能力上的差异,侧重于基础知识和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主,如,例4以前的例题.例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解;例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力;例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用.重庆卷第1题,浙江卷第4题,陕西卷第4题,天津卷第4题,上海卷第14题,全国Ⅱ卷第19题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习.
例9 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bn·bn+2<b2n+1. (福建卷第20题)
略解:(Ⅰ)由已知,得an+1-an=1,又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=n,从而bn+1-bn=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1.∵. bn?bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n<0, ∴ bn·bn+2<b.
对于第(Ⅱ)小题,我们也可以作如下的证明:
∵ b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1=
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