数列难题整理.doc

1(2011石景山一模文14)．的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则 ，数列的通项公式为 ．的首项，前项和为，且对任意都有，数列中的部分项N*）成等比数列，且(Ⅰ) 求数列与的通项公式;（Ⅱ）令，并用x代替n得函数，设的定义域为R ,记,求. 21解：(Ⅰ) 由代入已知得 即于是有 又= 所以数列的通项公式为 …….3分 由知，数列是首项为1，公比为4的等比数列， 而为等差数列中的第项，是等比数列中的第项，所以有 即 …….5分 （Ⅱ）解由已知，则 ① ② ①+②得 即 （ 22.(2011石景山一模文20)．（本小题满分14分） 已知定义在上的函数和数列，，，当且时，，且，其中，均为非零常数． （Ⅰ）若数列是等差数列，求的值； （Ⅱ）令，若，求数列的通项公式； （Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式． 解：（Ⅰ）由已知，， 得 ． 由数列是等差数列，得． 所以，，， 所以． ………………4分 （Ⅱ）由，可得 且当时， ． 所以，当时， ， ……………7分 因此，数列是一个首项为，公比为的等比数列． 所以 数列的通项公式是．……………………8分 （Ⅲ）若是等比数列，由（Ⅱ）知，， ， ． …………………………………………10分 当时，． 上式对也成立，所以，数列的通项公式为： ． 所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，． ……………………………………………………………………12分 当时，． 上式对也成立， 所以 所以 ． 所以 等式对于任意实数均成立． 所以 ． ………………………………………………………14分 23.(2011朝阳一模文20)．（本小题满分14分） 有个首项为1，项数为的等差数列，设其第个等差数列的第项为，且公差为. 若，， 也成等差数列． （Ⅰ）求（）关于的表达式； （Ⅱ）将数列分组如下：，，，，，，）…， （每组数的个数组成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前项和； （Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式 成立的所有的值． 23解（Ⅰ）由题意知，． ，同理， ，，…， ． 成等差数列， 所以， 故. 即是公差是的等差数列． 所以，（，）． ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 数列分组如下：，，，…． 按分组规律，第组中有个奇数， 所以第1组到第组共有个奇数． 注意到前个奇数的和为， 所以前个奇数的和为，即前组中所有数之和为，所以． 因为，所以，从而 ． 所以 . ， 故 ， 所以 ． ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得，. 故不等式 就是． 考虑函数． 当时，都有，即． 而， 注意到当时，单调递增，故有. 因此当时，成立，即成立． 所以满足条件的所有正整数．…………………………………14分 24.(2011海淀一模文20). （本小题13分），其中等于的项有个， 设， （Ⅰ）设数列，求； (II) 若中最大的项为50， 比较的大小； （Ⅲ）若，求函数的最小值. 24.解: (I) 因为数列， 所以， 所以 . …………………3分 (II) 一方面，， 根据的含义知， 故，即 ， ① …………………5分 当且仅当时取等号. 因为中最大的项为50，所以当时必有， 所以 即当时，有； 当时，有 . …………………7分 （III）设为中的最大值. 由（II）可以知道，的最小值为. 下面计算的值. ， ∵ ， ∴， ∴最小值为. …………………13分 25.（2011海淀二模文20）（本小题13分），若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令 . (Ⅰ) 若数列： 求数列； (Ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若为