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数列中的一类存在性问题 题组一 1．设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． （2），要使得成等差数列，则 即： 即： ∵，∴只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，． 【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决． 2．（09年江苏卷17）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足．（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和． (2) =，若其是中的项，则， 令，则=, 即： 所以为8的约数． 因为是奇数，所以可取的值为， 当，即时，；当，即时，（舍去）． 所以满足条件的正整数． 【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析． 3． （南通市2013届高三期末）已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且． （1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由． （1）令n=1，则a1=S1==0． （2）由，即， ① 得． ② ②－①，得． ③ 于是，． ④ ③+④，得，即．又a1=0，a2=1，a2－a1=1， 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an=n－1． （3）假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，． 时，0故数列{}( )为递减数列，时，0故数列{}()为递减数列，，，即时， 又当时，成立． 解法2：同上有，，且数列{}( )为递减数列，时，成立；当时，， 因此，由得，，此时 【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想． 题组二 1.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且．在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由． 【解析】由知，数列是递减数列， 假设存在成等差数列，不妨设，则，即 即 而，，故矛盾． 因此在数列中不存在三项成等差数列． 【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在． 2．（2010年湖北理）已知数列满足：，，数列满足：． （1）求数列，的通项公式； （2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列． 【解析】（1）由题意可知， 令　，则　 又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即 ，故，又， 故，． （2）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立 ，即 即： 由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾． 因此数列中任意三项不可能成等差数列． 【注】此题为上例的补充，方法上有区别，在不便利用范围寻找矛盾时，如何考虑式子的变形呢？首先考虑将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾． 3．（2007福建理22）等差数列的前项和为． （1）求数列的通项与前项和； （2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【解析】（1）由已知得，， 故． （2）由（1）得． 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则． 即． ， ． 与矛盾． 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列． 【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾． 课堂小结 数列中的一类存在性问题不定方程的正整数解问题 存在有（正整数）解 不存在无（正整数）解 （1）整除性 （2）奇偶性 （3）范围 （1）范围 （2）奇偶性 （3）有理数性质 课本溯源 （选修2-2教材P84第9题）证明：1，，3不可能是一个等差数列中的三项． 选编说明 数列是高中数学的核心概念之一，在高考中占有重要的地位，其在历年高考解答题中基本居压轴题位置．江苏省08、09年高考中数列解答题都考查了数列中一类存在性问题，此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想，在近年省内各市模拟卷中常有出现．通过对数列中一类存在性问题的研究，让学生加深对数列概念的理解，学会此类问题的常用处理策略，提升分析、转化、解决问题的能力． 课后巩固： 1.（2011高淳高级中学19）公差d≠0的等差数列{an}的前