§2.3 常微分方程在正则奇点邻域的级数解法.pdf

§2.3 常微分方程在正则奇点邻域的级数解法 对于二阶常微分方程 d 2 y dy ( ) ( ) 2 +p x +q x y 0 （1） dx dx 如果 ( ) ( ) ( ) x x 0 是p x 、q x 的极点或本性奇点，可以证明方程（1）的解y x 具有负 幂项。（证明略） 如果方程的解只有有限个负幂项，则x x 0 称为方程的正则奇点。本章只考虑最常 见的正则奇点： ( ) ( ) x x 0 为p x 不超过一阶的极点，同时为q x 的不超过二阶的极点。 此时，方程（1）的两个线性独立解为 ∞ s () n ( ) ( )1 1 ( ) y 1 x x −x0 ∑cn x −x0 （2） n 0 ⎧ s ∞ ( ) n ( )( − )2 2 ( − ) − ≠ y 2 x x x0 ∑cn x x0 , s1 s2 整数 (3) ⎪ ⎪ n 0 ⎨ ∞ s ( ) n ⎪ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ( ) − + − − − y 2 x βy 1 x ln x x0 x x0 ∑cn x x0 , s2 s1 整数 (4) ⎪ ⎩ n 0 其中，s ,s 是指标方程的两个解。指标方程是x 最低次幂系数为零构成的方程。 1 2 一、Bessel 方程的级数解 2 d 2 y dy 2 2 x 2 +x +(x −m )y 0 m 0任意实数 （5） dx dx 1 x 2 −m2 ( ) ( ) p x , q x 2 x x 因此，x 0 为方程的正则奇点。