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中学数学研究·代数 数列的综合应用与实际应用 数列的综合应用与实际应用 高考命题焦点 命题热点 ⒈有关等差数列的应用题；⒉有关等比数列的应用题；⒊有关递推数列的应用题 学科渗透 ⒈数列与函数相结合；⒉数列与不等式相结合；⒊数列与解析几何相结合；⒋数列与方程相结合 数列的综合应用与实际应用高考题型⑴ 例1 某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少？） 数列的综合应用与实际应用高考题型⑴ 思路：建立汽车的年平均费用的目标函数式。 解：设汽车使用年限为n年，f（n）为使用该汽车的年平均费用。 当且仅当 即 时等号成立。 因此该汽车使用10年报废最合算。 数列的综合应用与实际应用高考题型⑴ 例2 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24小时，可注满水池。如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问：最后关闭的这个水龙头放水多少时间？ 数列的综合应用与实际应用高考题型⑴ 解：设共有n个水龙头，每个水龙头放水的时间依次为 由已知可得 所以数列 是等差数列，每个水龙头1小时放水 即 又 ， 故最后关闭的水龙头放水40小时。 数列的综合应用与实际应用高考题型⑵ 例3 动点p从原点出发，沿x轴正向移动距离a到达p1，再沿y轴正向移动距离 到达点p2，再沿x轴正向移动 到达点p3……依次类推无限进行，每转1次距离缩小1半。 ⑴求动点p行进路线的极限； ⑵动点p与坐标平面上哪一点无限接近。 数列的综合应用与实际应用高考题型⑵ 解：⑴动点p行进路线依次为 所以 数列的综合应用与实际应用高考题型⑵ ⑵设动点p与平面上 点无限接近，则 故动点p与平面上点 无限接近。 数列的综合应用与实际应用高考题型⑶ 例4 某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设 为n年后该地区的森林木材存量。 ⑴求 的表达式 ⑵为保护生态环境，该地区每年的森林木材量应不少于 ，如果 ，那么该地今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取 ） 数列的综合应用与实际应用高考题型⑶ 解：⑴依题意， 数列的综合应用与实际应用高考题型⑶ 证明：①当n=1时， ，已证推测成立。 ②假设n=k时， 成立。 则当n=k+1时， 数列的综合应用与实际应用高考题型⑶ ⑵当 时，若发生水土流失，则森林木材存量必需小于 即 经8年该地区就开始水土流失。 课堂思考 据统计测算，某养鱼场第一年鱼的总重量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半。 ⑴饲养四年后，鱼的总重量预计是原来的多少倍？ ⑵若因环境污染等因素的影响，每年约损失预计重量的10%，那么经过几年后，鱼的总重量开始下降？ 课堂思考 解： ⑴设每年底鱼的重量为 ，则 故四年后，鱼的总重量预计是原来的11.25倍。 课堂思考 ⑵设预计损失后每年底鱼的重量为 课堂思考 令 ，得 ，即 故从第6年开始鱼的总重量开始下降。 *中学数学研究·代数 *中学数学研究·代数 思路：由 猜想出 ，再用数学归纳法证明。 *中学数学研究·代数 * * 1.已知两个等差数列，它们的前n项和分别为，若，求的值。 2.等比数列的首项，前n项的和为，若，则 3.已知一个等比数列的前四项之积为，第二、三项之和为，求这个等比数列的公比。 4.已知是等比数列，如果 且，则的值为