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中小學數學教材教法 義守大學師資培育中心 溫武男 wunan@isu.edu.tw 數學教師 學科專業知識---數學 教育專業知識 學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge ; PCK) 課程:九年一貫數學課程綱要、教科書、參考書、教案…評量:總結性評量、形成性評量 教學目標 認知目標:例如.能了解正方形的性質 技能目標:例如.能用直尺丈量出一枚50元硬幣的直徑 情意目標:例如.願意與同學分享成功解題的技巧 中小學數學科教材教法 John A. Van De Walle 著 張英傑 周菊美 合譯 (Elementary and Middle School Mathematics Teaching Developmentally ,五南,2005) 第二章 探索「做數學」的涵義 數學是樣式和次序的科學 數學依靠邏輯作為它的事實標準,把觀察模擬與實驗當作是發現事實的方法 500個新生500個櫃子 學校數學的傳統觀點 在傳統教室中，教師代表了在數學上無所不知的來源。 「教學」一般包含著教師指示兒童如何去做指定的課業。在這種環境下，學生的注意力必須在教師身上，而不是在數學的原理上；這堂課的焦點，主要是得到答案，學生又依賴教師去判定他們的答案是否正確。 兒童接受每一個問題，一定有一個預先決定的解法。的確有一些兒童精於學習規則，接連地在獲得好成績之下穩定成長，但是對於最好的思考者而言，這些並不是必須的。 傳統的教學系統鼓勵規則的學習，而對實際地做數學卻僅僅提供了一點點的機會。 數學是樣式(pattern)與次序(order)的科學 發現與探究如此的樣式與次序，並使它發生意義就是數學的全部。 例如:當兩個奇數相乘，結果仍是奇數，但若相同的這兩數相加或相減，結果是偶數。 規律樣式存在於我們周遭的每一樣事物，這個世界充滿了樣式與次序:在自然、藝術、建築與音樂之中。樣式與次序也處於商業、科學、醫藥、製造業與社會學之中。 數學發掘了次序，使它發生了意義，而且以一種迷人的方式的特質，運用它來改善我們的生活與擴展我們的知識。學校必須以這個發現的歷程，開始並幫助兒童。 反覆的訓練在傳統的測驗上可能產生短期的效果，但是長期的影響是使得國民樂於去承認她們不會做數學的藉口 想像一下在一個數學教室中，小學生做數學的情形。你將用什麼動詞來描述課室中的活動? 探索(explore) 表現(represent) 解釋(explain) 調查(investigate) 公式化(formulate) 推測(predict) 臆測(conjecture) 發現(discover) 發展(develop) 解決(solve) 建構(construct) 描述(describe) 辯解(justify) 證實(verify) 使用(use) 這些科學動詞指出了「產生意義」(make sense) 與「發掘道理」(figuring out)的歷程 在教室中做數學是每天發生的事情，學生得到授意的訊息:「你能對這個產生意義─你有能力去做數學。」 在數學中最基本的想法是使數學有感覺能產生意義! 每天，學生必須經驗數學產生意義這件事 學生必須去相信他們是有能力使數學產生意義的。 教師必須停止灌輸式的教學，並開始讓學生學習使數學產生意義。 最後，教師必須相信所有的學生。 傳統數學教室中「聆聽、複製、記憶和反覆訓練」的對比，這些是被動的活動。 它們意味著零風險與很少的主動；做數學則必須採取努力和主動 對幼童而言，一個優質的探索，是幫助她們開始去看出事實是如何被關聯，並藉由觀察來面對它們 紫色的最好機會 三個學生正快速地旋轉二個輪盤以「得到紫色」(可任意地旋轉先紅後藍，或是先藍後紅)。她們可能選擇旋轉每個輪盤1次或是選擇其中的一個轉輪2次。瑪莉選擇旋轉A輪盤2次;約翰選擇選轉B輪盤2次;然後蘇珊選擇先旋轉A輪盤，然後是B輪盤，誰最有機會得到一個紅色和一個藍色的呢? 在教室中，解答本的現成效益，或者教師提供解法與證明正確答案是正確的，都是對兒童傳達了一個清楚的訊息:關於「做數學」，是「你的工作要去發現老師已經知道的答案」 但在教室外面，在需要解決問題的現實世界中，沒有擁有答案的教師，也沒有解答本。做數學應包括決定一個答案是否正確?並且答案為什麼如此? 特技演員、祖母與伊文老狗 這個問題是利用以下的訊息，去發現誰是拔河比賽第三回合的勝利者。 第一回合:一邊是四位特技演員，每一位的力量相同。另一邊五位街坊的老祖母，每一位都力量相同。比賽結果是平手。 第二回合:一邊是伊文(一隻老狗)。可能的伊文對抗兩個老祖母與一位特技演員，結果又是不分勝負。 第三回合:伊文和三位老祖母在一邊，而四個特技演員在另外一邊。 誰嬴得第三回合?