3.1.3空间向量的数量积运算一.pptVIP

3.1.3空间向量的 数量积运算 一、引入 1.共线向量定理： 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有： 3.共面向量定理： 4.P、A、B、C四点共面充要条件： 一、两个向量的夹角 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°] B B1 A A1 一、空间向量数量积的定义 已知空间两个非零向量 , 则 叫做 的数量积，记作 , 即 注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 不一定为锐角 不一定为钝角 三、空间两个向量的数量积的性质 (1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质. (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是 用来求两个向量的夹角． (3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据． 空间向量数量积可以解决的立体几何问题： 3）向量的夹角（两异面直线所成的角）； 2）证明垂直问题； 1）线段的长（两点间的距离）； ，也就是说 四、空间向量数量积的运算律 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a?b)c一定等于a(b·c)吗? 注意： 数量积不满足结合律即 例1 已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|． 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积： 练习1 A B C D E F G 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离． 练习2 练习3 解： 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN． 证明： 练习4 证明： 如图,已知: 求证： 在直线l上取向量 ,只要证 为 逆命题成立吗? 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理. m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . 小 结： 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等. * 例1答案2 * 例2 * 例2答案 * 例3 * 例3答案 * 知识要点3 * 例1答案2 * 例2 * 例2答案 * 例3 * 例3答案 * 知识要点3