高等代数课件(北大版)第三章 线性方程组§3-6.ppt

数学与计算科学学院 * §3.6 线性方程组解的结构 * * §3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、一般线性方程组解的结构 一、? 齐次线性方程组解的结构 1 解的性质 性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解. 性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解. 性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解. （1） 2 解空间 所成集合，则 空间，称之为齐次线性方程组（1）的解空间． 设 为齐次线性方程组（1）的全体解向量 即 关于解的线性运算封闭，所以 是一个向量 定义 齐次线性方程组(1)一组解向量 ， 若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 　　　　　线性表出. i） 线性无关； 则称 为(1)的一个基础解系． 3 基础解系 定义 4 基础解系的存在性 定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数 等于 ，其中n是未知量的个数， 证： 则（1）可改写成 若 ， 不妨设 （2） 代入自由未知量 ， 也即（1）的 个解 用 组数 就得到（2）的 　　解， 且 满足： ① 线性无关. 事实上，若 ② 任取（1）的一个解 　　 即 线性无关． 故 线性表出． 可由 事实上，由 是（1）的解，得 也为（1）的解，即 为（1）的解. 它与 的最后 个分量相同， 即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解． . 故 由①②知， 为（1）的一个基础解系． 推论1 任一线性无关组的与（1）的某一基础解系 等价的向量组都是（1）的基础解系． 设 为（1）的一个基础解系， 线性无关，且与 等价， 且 可由 线性表出， 所以　也为（1）的解向量 证： 则 任取（1）的一个解向量 ， 则 可由 从而 可由 线性表出. 线性表出， 也是（1）的基础解系. 推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系． 设 为(1)的一个基础解系， 证： 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 知　　的秩为n－r . 与 都是向量组 　的极大无关组. 与　　　　　　等价. 推论1得证. 5 齐次线性方程组解的结构 若 为齐次线性方程组（1）的一个 基础解系，则（1）的一般解（或通解）为 令 则 就是齐次线性方程组（1）的解空间． 例1　求齐次线性方程组的基础解系． 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵 令 　得 令 　得 原方程组的解为 原方程的基础解系为 附： 求基础解系的一般方法 对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换， 化A为行最简形． 不妨设 初等行变换 第一步： 写出方程组(1)的一般解： 第二步： 第三步： 为自由未知量. 代入自由未知量 ， 用 组数 得出方程组(1)的 解： 向量组　　　　　　即为方程组(1)的一个基础解系. 练习　求齐次线性方程组的基础解系． 二、一般线性方程组解的结构 设线性方程组 则齐次线性方程组 （3） （4） 称为（3）的导出组．