1.3.3函数的最值.ppt

* * 一、复习引入 ①如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)0, 右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值. 1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: 二、新课——函数的最值 x X2 o a X3 b x1 y 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 导数的应用-----求函数最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) 所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值 ※典型例题 1、求出所有导数为0的点； 2、计算； 3、比较确定最值。 ※动手试试 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （04浙江文21）（本题满分12分） 已知a为实数， （Ⅰ）求导数 ； （Ⅱ）若 ，求 在[-2，2]上的最大值和最小值； （Ⅲ）若 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。 例2 ※典型例题 小结 求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. ※思考 反思：本题属于逆向探究题型； 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 2、求最大（最小）值应用题的一般方法: (1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步; (2)确定函数定义域，并求出极值点; (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点. 1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来: 首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质; 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解. 应用 例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60). 令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3. 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. 说明 1、设出变量找出函数关系式； (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义 x y 例2: 如图,在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. 解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2). 令 ,得 所以当 时, 因此当点B为 时,矩形的最大面积是