数学实验教程_实验3(一元函数微分学).doc

实验3 一元函数微分学 实验目的 1．借助软件绘图功能，从几何直观上帮助理解导数的概念以及切线方程、法线方程； 2．借助软件绘图功能，深入理解驻点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线概念； 3．从几何上帮助理解微分中值定理和泰勒展开定理； 4．学习使用软件进行导数和微分的基本运算； 5．近似计算。 实验准备 1．导数的概念 2．导数的基本运算规则 （1） ； （2） ； （3） 若，则。 3．微分中值定理 若在上可微，则在中一定存在一点，使得 . 4．泰勒展开式 若在点附近是次可微的，则在的附近可以写成 其中 称为泰勒展开式中的余项。 5．导数的应用 （1）函数几何性质的判断 （2）极值 实验内容 1．导数概念及其几何意义 2．微分中值定理的几何演示 3．泰勒展开定理与多项式逼近 4．驻点、拐点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线的几何示意图 5．导数的运算 6．利用软件求极值 7．近似计算 软件命令 表3-1 Matlab一元函数求导命令 函数名称 调用格式 说 明 syms syms 变量名1，变量名2,… 定义符号变量 sym f=sym(expression) 定义符号表达式 diff diff(f,x,n) 求f对x的n阶导数 diff(X,n) 求X中相邻两元素的n次递归差分 diff(Y)./diff(X) 计算近似导数 taylor taylor(f,n,x0) 在处展开函数到第n项 solve solve(equations,x,…) 方程（组）求根 fsolve fsolve(equations,x0,…) 非线性方程（组）求根 roots roots(p) 多项式求根 plot plot(x1,y1,options,x2,y2,options,…) 绘制散点图 演示实验 【例3.1】导数的概念及其几何意义 考察函数的图像及在处切线、割线之间的关系。 【原理】：过点的切线方程和法线方程分别为 和 割线方程为 【步骤】： Step 1: 取，绘制在点的割线、切线和法线； Step2：分别取，利用动画展示函数图像、切线、割线和法线之间的关系。 【程序】：程序参见Exm03Demo01.m。 【例3.2】洛尔定理的几何意义 设函数， （1）验证分别在区间上满足洛尔定理，并通过图形展示洛尔定理的几何意义； 【原理】： 在区间上可微，且，所以分别在区间上满足洛尔定理的条件。由洛尔定理，存在，使得。 【步骤】： Step1: 画出的图形，并求出。 clear clf syms x; f=(x-3)*(x-1)*(x+1)*(x+3); df1=diff(f,x); rt=solve(df1,x); for i=1:3 vf(i)=subs(f,x,rt(i)); end vf=double(vf); X1=[-4.0:0.1:4.0]; n1=length(X1); Z1=zeros(1,n1); for i=1:n1 Y1(i)=subs(f,x,X1(i)); DY1(i)=subs(df1,x,X1(i)); end plot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1) 输出图形： 图3-2（1）f(x)以及f’(x)的图形  求得的根为：-5^(1/2)；0；5^(1/2)。 Step2: 画出及其在点处的切线。 Y0=ones(1,length(X1))*vf(1); X2=[0:0.1:4]; Y2=ones(1,length(X2))*vf(2); X3=[-4:0.1:0]; Y3=ones(1,length(X3))*vf(3); axis([-4 4 -50 50]) hold on plot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1) plot(X1,Y0,r--,X2,Y2,b-.,X3,Y3,k--) hold off 输出图形为： 图3-2（2）切线图及几何意义  【例3.3】泰勒展开式 对函数分别在处进行作泰勒展开到2、4、6、8阶，并在区间内作出函数及其在处2、4、6、8阶泰勒多项式的图形。 【步骤】： Step1：在处展开成泰勒级数； Step2：在处展开成泰勒级数 Step3：绘制函数图形 【程序】：参见Exm03Demo03.m。 【输出】：  （1） 在x=0展开 （2）在处展开 图3-3 一元函数的泰勒展开 【例3.4】驻点与拐点的计算 已知函数，求的驻点、拐点。 【步骤】： 【Step1】：求出函数，并绘制图形： 在命令窗口中键入： syms x; f=(x+1)^3/(x-1)^2; df1=diff(f,x); simplify(df1) df2=diff(f,x,2); simpl