2013年春季上外微积分课件(第六周).pdf

年年年春春春季季季《《《微微微积积积分分分》》》第第第六六六周周周课课课件件件 （（（本本本课课课件件件仅仅仅用用用于于于电电电子子子设设设备备备观观观看看看，，，不不不能能能用用用作作作打打打印印印））） 第四章： 第一节：中值定理 第二节：洛必达法则 第三节：导数的应用 第四节：函数最大最小值与经济应用 1 问问问题题题 什么是罗尔中值定理？ 解解解答答答 若函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 连续, 在开区间 (a, b) 可导, ′ f (a) = f (b), 则存在ξ ∈ (a, b) 使得f (ξ) = 0. 2 问问问题题题 罗尔中值定理的证明 解解解答答答 • 存在最小值m = min f (x), 最大值M = max f (x). ∈[] ∈[] • 若m = M 则f (x) 处处为常数. • 若 f (ξ) = M , 则 ′ f (ξ + ∆x) − f (ξ) f (ξ) = lim = 0. ∆→0 ∆x • 若 f (ξ) = m, 则f′ (ξ) = 0. 3 问问问题题题 不求导数, 判断函数f (x) = (x −1)(x −2)(x −3) 的 导数有几个实根. 解解解答答答 因为f (1) = f (2) = f (3), 所以存在ξ1 ∈ (1, 2) 和 ′ ′ ′ ξ ∈ (2, 3) 使得 f (ξ ) = 0, f (ξ ) = 0. 因此f (x) 至少 2 1 2 有两个实根。 4 问问问题题题 什么是拉格朗日中值定理？ 解解解答答答 若函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 连续, 在开区间 (a, b) 可导, ′ ()− () 则存在ξ ∈ (a, b) 使得f (ξ) = − . 5 问问问题题题 拉格朗日中值定理的证明 解解解答答答 • 想办法化约到罗尔中值定理的情形 • 令φ(x) = f (x)(b − a) − [f (b) − f (a)]x. • φ(x) 满足罗尔中值定理的三个条件. ′ • φ (ξ) = 0. 6 求求求证证证 如果可导函数f (x) 在区间 (a, b) 上的导数处处为 零则该函数在该区间上是常数函数。 解解解答答答 若有两点x , x 的函数值f (x )