应用几何画板巧解函数图像的交点个数问题.doc

应用《几何画板》巧解函数图像的交点个数问题 李松田 王中林 (重庆市江津聚奎中学) 摘要：在高中数学的教学过程中，对函数图像的绘制要求并不高，多数函数在研究其图像和性质时，只画出简图就可以了，特别是求超越方程解的个数问题，常常转化为求函数图像的交点个数，只要画出其大致图像就可以解决。正因如此，我们就很容易忽略所画函数图像的准确性，对于某些函数，如果所画的图像与实际相差太远，必然得不到正确的结果，甚至还会产生一些错误的认识。本文将介绍如何求两个常用函数（指数函数和对数函数）图像的交点个数问题，它用人工的画图方式或代数运算根本无法解决，但借助《几何画板》软件强大的函数图像作图能力，通过去探索、归纳，得出了这两个函数图像的交点个数及其条件，最终解决了这个手工画图方式无法解决的问题，从而说明函数图像要符合标准的重要性，希望本文能对广大教师的数学教学和函数图像研究有所帮助。 关键词：几何画板 函数图像 交点个数 问题的提出 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，那么当底数0a1时，其交点一定在直线y=x上吗？当底数a1时，其图像又有无交点呢？ 对于前一个问题，我们先来看一个特殊的例子。在指数函数与其反函数的图像上，不仅在直线上有一个交点，而且和这两点也应在它们图像上，所以应该至少有三个交点。因此当底数0a1时，指数函数与其反函数的图像交点不一定只在直线y=x上，这个例子很好地说明了这一点，而我们画它们图像的时候，习惯上只考虑直线上的那一个交点，而容易忽略其它的交点，那么它们除了这三个交点外，还有没有其他的交点呢？ 对于后一个问题，我们会估计到有交点，但有交点的条件是什么呢？这也是一个需要确切回答的问题。 二.探索过程 1.寻找函数与的图像的交点 为了弄清楚这两个函数的图像究竟有多少个交点，我先是拿了一张A3纸，认真地去画这两个函数的图像，但有一部分太靠近了，为了使画出的图像能看出它们的交点，我尽了最大努力，也没能画好它们的图像，也分不清交点的情况，因此只好作罢。 后来，我偶然发现《几何画板》这个数学软件，有强大的函数图像作图能力，可以画出绝大多数函数的图像，于是就想，是不是可以通过它把两个函数的图像画出来，不就清楚了吗。于是赶紧打开《几何画板》，不一会便画出了两个函数的图像。然而没想到的是，它们的图像画出来也仍然如此，在中间的一部分已基本上重合在一起，究竟有多少个交点，完全看不清楚，又试图把图象放大，也无计于事，开始还以为是受图像分辨率影响，但后来已调到最佳状态，也不能清楚地显示出交点的情况。 是不是就没有办法呢？我整整思考了一天，才想出了一个办法，就是把两个函数进行作差，构造成一个新的函数，即，然后再画出它的图像。因为这两个函数图像的交点个数就是这个新函数的根的个数，即新函数的图像与x轴的交点个数。然而画出图像的结果是，与x轴相交的那一部分图像依然看不清楚，再一次失败。 为了不放弃这一想法（构造新函数的方法），我又仔细观察了它的图像，发现这个新图像应是有一部分在x轴上方，一部分在x轴的下方，才能说明它与x轴有交点，如果能把图像的纵坐标伸长，即增大函数图像的振幅，交点处依然不会改变，交点个数就应该清楚了。于是就在函数前加了一个系数10，即利用《几何画板》画出了函数的图像，交点情况终于清楚了一点，心里高兴极了，于是再把系数换成100，即，则完全清楚了，它的图像如右图所示，尽管它的纵坐标被放大了100倍，它的两个突起部分都仅有约1毫米高，在《几何画板》的放大作用下完全可以看清楚，此图像与x轴只有三个交点，说明函数与的图像也只有三个交点。 2.探索函数与的图像的交点个数变化情况 有了上面的结论，我们便可以探寻这类函数图像交点的个数变化情况，首先，将函数中底数a逐渐增大，就会看到图像与x轴两边的交点逐渐向中间靠拢，直到a值约为0.065987时，即使图像振幅放大到10万倍，都不能看出是三个交点了，因此，此时的a值应是接近三个交点重合在一起的条件值。如果将底数a值继续增大但要小于1时，则只有一个交点的特征就越来越明显，至此再无其他的交点。 如果将底数a值逐渐缩小，则图像与x轴两边的交点逐渐向两边分开，左边一个逐渐靠近坐标原点，另一个靠近点（1，0），其差值也增大，是三个交点的特征也越来越明显。 再来分析一下数值0.065987，它与(e为自然对数的底数，e≈2.71828…)的值非常接近，而当a取时，函数式变为，此时函数与x轴的交点刚好为(,0)，即方程的解为，所以这时两函数图像只有一个交点，这个交点为(,),正好在直线y=x上。 由此，可以得出函数与的图像的交点个数变化规律，即当底数时，它们有三个交点，前面的那个例子就属于这种情况；当底数时，它们只有一个交点。这个结论为我们今后对函数的作图有了一个明确的指