实验误差分析实务.doc

PAGE Documents of the Combustion Laboratory Created by AUTHOR Benny Class: Intra-C EXP-1-2001-4-8 PAGE PAGE 28 實驗誤差分析實務 一、前言 任何觀察及度量恆具某種程度之誤差，此種誤差大致可分成三類，即為持久性誤差(Persistent Errors)、偶然誤差(Accidental Errors)、及錯誤(Mistakes)。 持久性誤差對任何觀察及度量均產生同一影響。如使用儀器，由於不適當之調整或裝置，及其本身之精密程度所產生之儀器誤差。觀察人員對變動中觀察值之讀數，因反應性之不同恆有不及或過餘之紀錄，而產生個人誤差等等均屬之，此類誤差均屬可定且可藉適當之校正而補救者。 錯誤常由於觀察人員誤讀或誤記，儀器突然工作不正常，環境發生短時期之突變等等而產生不合情理之誤差，此類誤差雖無規律可循，但可藉細心謹慎而予以防止。 偶然誤差為觀察及度量時另一種誤差，其產生之原由無從探悉，且無從確定，但恆為微小之誤差且可藉數學中機率予以分析者。以下所述即根據機率之方法所導出有關觀察及度量中，偶然誤差之分析及精密度之決定等等。 二、偶然誤差─常態機率曲線之意義 對於偶然誤差之性質，可藉由下列實驗來說明，而得進一步之瞭解。 觀察人員利用觀察或度量以確定一未知量，其性質與射手打靶時瞄準紅心之情形類似，茲利用11呎之靶標，分成11格，並用某種型別之槍，瞄準其紅心發射1000發子彈，紀錄其中靶次數如圖1。 圖1(右3)79193204190212894101216 圖1 (右3) 79 193 204 190 212 89 4 10 1 2 16 該槍若瞄準紅心只發射一發子彈，吾人實不能預斷其落於靶標上之位置，但根據上述實驗之結果，可稱其打中紅心格內之機率為212/1000=0.212。打中右3格內之機率為193/1000=0.193等等。利用此項機率之觀念，可將上述實驗之結果繪成如下圖，其中x座標代表每格中心線離紅心之橫向距離，其中y座標正比於所紀錄之中靶次數。而得離散點，且繪出長方形如圖2所示。 令i格所中發數為Ni，而圖中對應之長方形面積為Ai，則必有 只射一發而落在i格內之機率Pi，亦正比於實驗時所中之發數Ni，而有 故得 因此，一發中靶之機率為 -5.5-4.5-3.5-2.5-1.5-0.55.54.53.52.51.50.5XOY圖2 -5.5 -4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 5.5 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 X O Y 圖2 現假想每一格之寬度縮至極微，靶標之寬度增至無窮，而實驗時試射發數亦增至無窮，則圖2長方形面積之總和即由一曲線下之面積所取代，而得 上式中之積分式必為一有限數，蓋一發中靶已成為必然，其機率成為1，故得 既知該曲線之面積為有限數，故可取適當之比例尺而使其面積為1，而得，依據上述原則而繪成之曲線如下圖，在任何指定間隔內中靶之機率，即為該曲線下所包括之面積，如圖3中所示者為。 (x,y)?xYXO圖3 (x,y) ?x Y X O 圖3 所得之曲線稱為常態機率曲線(Normal Probability Curve)。而本節所討論之觀察及度量之誤差中，其偶然誤差與上述一發中靶之機率性質，復極相似，故一般均引用上述機率之觀念以衡量偶然誤差。現設偶然誤差之分布正如常態機率曲線且已知時，則憑此曲線可決定： 一次度量之產生偶然誤差，數值介於及者，其機率為 一次度量之產生偶然誤差，數值介於及者，其機率為 一次度量之產生偶然誤差，數值介於及之間者，其機率為 三、常態機率曲線函數之推導 在導出常態機率曲線之公式前，吾人首先注意下列各項事實： 同等程度之正誤差與負誤差，出現之機會相同。因常態機率曲線與y軸成對稱，即為偶函數； 產生小誤差之機會與產生大誤差之機會，以前者為高。可知誤差出現之機率，視誤差之大小而定； 極大誤差產生之機會甚微。 根據上列事實，可先令常態機率曲線函數，在利用前述打靶實驗，以紅心為原點，對靶標上任一點處加以研究。參考圖4。 dzQZ’X’dxOXZ圖4 dz Q Z’ X’ dx O X Z 圖4 一發而中寬度為之長條，其機率寫成；一發而中寬度為之長條，其機率寫成(此係假定打靶所用之槍，上下左右各方向之性質均相同而言)。因此，一發而中Q點處一小方格之機率為，現若在靶標上通過紅心而繪出另一軸線組，則一發而中Q點處一小點方格之機率為。若該小方格為極微，則不再區分得出及。又認中靶之機率與所取之座標軸線無關，故得 現若令通過Q點，則，，而得 其中A為某一常數。上式為一未定函數之方程式，可由微分後再積分之方法求得其函數形式如下： ： ： 上二式之右邊相等，故得 即