定积分是确定的和式的极限.doc

PAGE PAGE 24 第七章 重积分 定积分是确定的和式的极限 现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。 §1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 曲顶柱体的体积 设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为准线，母线平行轴的柱面为侧面，以曲面（，连续）为顶，这种立体叫做曲顶柱体。 平面薄片的质量 设有一平面薄片在面上的区域，上任一点的面密度为，设在上连续，求薄片的质量 二重积分的定义： 二重积分的存在性： 设在闭区域上连续，则在上的二重积分一定存在。 在中，是的象征，叫做区域的面积元素。在二重积分存在时对区域的分划是任意的，为了方便起见，采用平行于坐标的直线段分划，这样除了靠近边界外，各个消区域都为小矩形，，于是，所以在直角坐标系下，二重积分的表达式为=。 二、二重积分的性质 二重积分概念是定积分概念的推广，故有类似的性质。 性质1：线性性质 性质2：对区域可加性 设，与只有公共边界， 则 性质3：规范性 若，，则（的面积） 性质4：单调性 设，，则 特别地，由 则有 性质5：估值定理 设M、m分别是在上的最大和最小值，为的面积，则有 性质6：二重积分中值定理 设在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点使 例1、比较与的大小。 其中（1）以为顶点的三角形 （2）为矩形域， 例2、估计二重积分的值，其中为. §2二重积分计算法 首先假设在上连续，二重积分存在且为一确定的常数，这个数值与的结构、的几何形状有关，就区域而论是多种多样的，但根据区域为可加性，只要解决两类标准区域上的二重积分的计算问题。 二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分。 一、二重积分在直角坐标系下的计算法 1、－型区域 若区域可表示为： 其中，则称为－型区域。 －型区域的特点：夹在直线和之间，且、与的边界之交点把的边界分为下边界和上边界，垂直于轴且穿过内部的任一直线与的边界至多相交两点。 定理：设在闭区域上连续，且为－型区域，则有： 上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，计算在区间上的定积分（这时看作常数），把得到的结果（是的函数）在上对计算定积分即为二重积分。 例1、计算二重积分，其中由，及轴所围成。 2、－型区域 若区域可表示为： 其中，则称为－型区域。 －型区域的特点：夹在直线和之间，且、与的边界之交点把的边界分为左边界和右边界，垂直于轴且穿过内部的任一直线与 的边界至多相交两点。 定理：设在闭区域上连续，且为－型区域，则有： 上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，在区间上对计算定积分（这时看作常数），把得到的结果（是的函数）在上对计算定积分即为二重积分。 例2、计算二重积分，其中由，，所围成。 若区域既是－型区域，又是－型区域，且在上连续，则有： 这说明了二重积分可化为二种不同次序的二次积分，到底采用哪一种次序积分就取决与被积函数的结构。 例3、计算二重积分，其中由，围成。 一般区域 若积分区域不是上述两种标准区域，用平行坐标轴的直线段分割，就一定可把分割为上述的两类区域，根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上积分之和就是上的二重积分。 化二重积分为二次积分关键是确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域的图形。 例4、写出两种次序的二次积分，其中由，围成的区域。 从上面几个例子看出，若是标准型，则按1、2两种形定限，如果不属标准型，把分割为若干个没有公共内点的部分，每个部分都是标准型。 注意： 1、第一次积分上、下限是函数或常数，而第二次积分的上、下限一定是常数，且下限小于上限。 2、积分次序选择的原则是两次积分都能够积得出来，且区域的化分要尽量地简单。 例5、计算，其中由，，所围成。 例6计算二重积分 的值，其中D是 1） 2）由围成。 解：1）I＝ 2）I＝ 法二：I＝＝ 上例可以看出正确选择积分次序相当重要。 例7、更换积分次序： 例8、写出两种次序的二次积分，其中：。 例9、计算I＝ 的值。 解：I= 例10、计算。 例11、计算，其中：，。 二、二重积分在极坐标系下的计算法 上面讨论的二重积分的计算法中知道，二重积分的计算的关键是定积分的上、下限，而积分的上、下限又是根据区域的边界确定，显然边界曲线的表达式简单积分就简单。平面曲线有些在极坐标系下的表达式简单，估考虑在极坐标系下计算二重积分。 极坐标与直角坐标的关系为： 二重积分在极坐标系下的表达式为 即 上式是二重积分从直角坐标系到极坐标系的变换公式。 极坐标系下的二重积分同样可以化为二次积分，下面讨论化为二次积分的方法。 极点在的内部：的边界曲线，即可表示为 ：，则 极点在的边界上：被射线，夹住，即可表示为 ：