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第二章 第一节 一、 引例 2. 曲线的切线斜率 两个问题的共性: 二、导数的定义 例1. 求函数 说明： 例3. 求函数 例4. 求函数 例5. 证明函数 三、 导数的几何意义 例7. 问曲线 四、 函数的可导性与连续性的关系 五、 单侧导数 定理2. 函数 内容小结 思考与练习 2. 设 5. 设 作业 牛顿(1642 – 1727) 莱布尼兹(1646 – 1716) 备用题 2. 设 * 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1 . 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 若 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: 注意: 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (C 为常数) 的导数. 解: 即 例2. 求函数 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对一般幂函数 ( 为常数) 例如， （以后将证明） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数. 解: 则 即 类似可证得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数. 解: 即 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 是否可按下述方法作: 在 x = 0 不可导. 证: 不存在 , 例6. 设 存在, 求极限 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 若 切线与 x 轴平行, 称为驻点; 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解: 令 得 对应 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 的某个右 邻域内 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 即 (左) (左) 例如, 在 x = 0 处有 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 且 存在 简写为 在点 处右 导数存在 定理3. 函数 在点 必 右 连续. (左) (左) 若函数 与 都存在 , 则称 显然: 在闭区间