7讲 微分方程.pptVIP

* 数学建模与数学实验 微 分 方 程 实验目的 实验内容 2．学会用MATLAB求微分方程的数值解． 1．学会用MATLAB求简单微分方程的解析解． 1．求简单微分方程的解析解． 4．实验作业． 2．求微分方程的数值解． 3． 数学建模实例． 求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径 （三）用MATLAB软件求常微分方程的数值解 返 回 1．目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2．目标跟踪问题二：慢跑者与狗 3．地中海鲨鱼问题 返 回 数学建模实例 微分方程的解析解 求微分方程（组）解析解的命令: dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’) To MATLAB（ff1） 结 果：u = tg(t-c) 解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结 果 为 : y =3e-2xsin（5x） To MATLAB（ff2） 解 输入命令 ： [x,y,z]=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, 　　Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z) 结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To MATLAB（ff3） 返 回 微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解．而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式． 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的． 返 回 （二）建立数值解法的一些途径 1．用差商代替导数 若步长h较小，则有 故有公式： 此即欧拉法． 2．使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有： 实际应用时，与欧拉公式结合使用： 此即改进的欧拉法． 故有公式： 3．使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法． 4．数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）（其中k为正整数，h为步长）时，称它是一个k阶公式． k越大，则数值公式的精度越高． 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式． 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式． 线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式． 返 回 （三）用MATLAB软件求常微分方程的数值解 [t，x]=solver(’f’,ts,x0,options) ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的M文件名 ts=[t0,tf]，t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初值 ode23：组合的2/3阶龙格–库塔–费尔贝格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格–库塔–费尔贝格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差． 1．在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量，M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出． 2．使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组． 注意: 解: 令 y1=x，y2=y1’ 1．建立M文件vdp1000．m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2．取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s(vdp1000,[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),-) 3．结果如图 To MATLAB（ff4） 解 1．建立M文件rigid．m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(