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高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第二节 微积分基本公式 前面我们已经研究了定积分的定义,利用定义求定积分很不方便 本讲介绍计前算定积分的方法。 一, 引例 考察变速运动中路程函数s(t)与其导数--速度函数v(t)之间的关系物体在时间区间[t0,T]经过的路程,可以用 表示 具体的做法是把路程函数s(t)在[t0,T]之间分成n小段,在每一小段中用v(τi)△t表示,它们的和就是整个路程.当△t→0时的极限得到变速运动的路程 另一方面,这段路程又可以通过路程函数s(t)在区间[t0,T]上的增量S(T)-S(t0)来计算,S = S(T) - S(t0) 于是 而S’(t)=v(t),(1)式表明:速度函数在区间[t0,T]上的定积分等于它的原函数S(t)在[t0,T]上的增量△S=S(T)-S(t0) 我们在(1)式中得到 (1)式把定积分和被积函数的原函数相互联系起来,如果是这样,那我们求定积分可以借助不定积分求出来.问题就显然得到解决.这个方法由牛顿和莱布尼茨 两人独立完成的,我们称为牛顿-莱布尼茨公式(它的证明在第3部分中.) 为了更好的研究牛顿-莱布尼茨公式,我们引入“积分上限的函数”这个概念 二 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b ]上连续,且x∈[a,b],则f(x)在部分区间[a,x]上也连续,从而可积,定积分的字母无关) (定积分同它自变量) 存在,当x在区间[a,b]内变动时,则每一个x值对应 的一个值 在区间[a,b]上定义一个函数 这个函数是积分上限x的函数,称为变上限积分的函数. 定理1 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限积分的函数在[a,b]上可微,且它的导数 变上限积分的函数是被积函数的一个原函数 所以 这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数.因此,这里引出定理2 定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 这定理的重要意义是:一肯定了连续函数的原函数是存在的.二.它初步揭开定积分和原函数之间的联系,我们可以用原函数来计算定积分 这里我们补充定理1的3个推理 例1 求下列导数 例3 求极限 当x →0时,为0/0型.用罗必塔法则 其中,当x→0时,sinx →x,arctgx →x 三 微积分基本公式--牛顿-莱布尼茨公式 Newton-Leibniz 设F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 证明: 根据定理1我们得到 此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求定积分的问题化为求原函数或计算不定积分,这是计算定积分的主要方法. 我们称为微积分的基本公式. 例4 例5 例6 计算 分析:计算被积函数有绝对值时,可将被积函数化为分段函数再积分. 例7 求极限 分析: 求这类和式的极限,可将其转化为积分和的极限,再用定积分计算.记原式为 将区间[0,1]作n等分,则1/n=△xi (i=1,2,3...n),这时n→∞相当于λ=△xi→0;取ξ=i/n为每个小区间△xi的右端点;由于函数1/(1+x2)在区间[0,1]上连续,从而可积,于是积分 与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式 例8 计算 1.∫cosxdx. 2.∫0π/2 cosxdx. 3.∫0x cosxdx,并由此说明 不定积分,定积分,变上限定积分三者之间的关系. 解: