08线性代数方程组的迭代法.pptVIP

迭代格式的构造 把矩阵A分裂为 则 将上式写为迭代过程 这种迭代过程称为逐次逼近法，B 称为迭代矩阵。 问题： 迭代法的收敛条件 注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。 定理3 若逐次逼近法的迭代矩阵满 足‖B‖1， 那么逐次逼近法收敛。 二、 可约矩阵与不可约矩阵 定义2设A是n阶矩阵. 如果存在排列阵P,使 三、 有关性质 定理3.5.6 设A是n阶(按行) 严格对角占优矩阵， 那么A是非奇异的. 定理3.5.9 设A是不可约对角占优矩阵， 那么A是非奇异矩阵. Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 定理（3.5.12，3.5.13，3.5.14 ）如果A是按行(列)严格对角占优的矩阵，那么Jacobi和G－S迭代法都收敛. 注意的问题 （2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性没有必然的联系： 举例 用Jacobi迭代法求解不收敛，但用 Gauss-Seidel法收敛。 系数矩阵A是正定矩阵，因此用 Gauss-Seidel法收敛. * * 第八章 线性方程组 的迭代解法 思路 将 改写为 等价形式 ，建立迭代 　 。从初值 出发，得到序列 。 研究内容： ? 如何建立迭代格式？　 ? 收敛速度？ ? 向量序列的收敛条件？ ? 误差估计？ 收敛性定义：若 称逐次逼近法收敛， 否则，称逐次逼近法不收敛或发散。 给定初值 就得到向量序列 定理1 任意给定初始向量x0，如果由逐次 逼近法产生的向量序列收敛于向量x*，那么， x*是方程组x=Bx+g的解。 证明： 是否为方程组Ax=b的解？ 补充定理 当k? ?时，Bk ? 0 ? ? ( B ) 1 定理2 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径 ?(B ) 1。 证明： 因此， Remark:因为矩阵范数 都可以 直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3.5.3， 容易判别逐次逼近法的收敛性。 定理 4 （充分条件）若存在一个矩阵范数使得 || B || 1, 则迭代收敛，且有下列误差估计： ② ① 证明： ② 迭代法的误差估计 误差表达式及收敛速度。 停机准则。 ① （4.1） 1．雅克比（Jacobi）迭代法 设有n阶方程组 几种常用的迭代格式 若系数矩阵非奇异，且 (i = 1, 2,…, n)，将方程组 （4.1）改写成 然后写成迭代格式 （4.2） （4.2）式也可以简单地写为 （4.3） 写成矩阵形式： A = L U D B Jacobi 迭代阵 (4.4) Algorithm: Jacobi Iterative Method Solve .Given an initial approximation . Input: the number of equations and unknowns n; the matrix entries a[ ][ ]; the entries b[ ]; the initial approximation X0[ ]; tolerance TOL; maximum number of iterations Mmax. Output: approximate solution X[ ] or a message of failure. Step 1 Set k = 1; Step 2 While ( k ? Mmax) do steps 3-6 Step 3 For i = 1, …, n Set ; /* compute xk */ Step 4 If then Output (X[ ]); STOP; /* successful */ Step