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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP Linear Programming Page * of 21 * 运筹学 Operations Research Chapter 1 线性规划 Linear Programming 1.LP的数学模型 Mathematical Model of LP 2.图解法 Graphical Method 3.标准型 Normalized Form of LP 4.基本概念 Basic Concepts 5.单纯形法 Simplex Method 6.人工变量法 Artificial Variable Method 7.计算公式 Calculate Formula 8.附录：软件求解操作及LP常用词汇 线性规划（Linear Programming缩写为LP）是运筹学的重要分支之一。 自1947年美国数学家丹捷格（G.B.Dantzig）提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益广泛与深入。特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更广泛了。从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之地。它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理科学的重要基础和手段之一。 线性规划主要解决两个方面的问题： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多？ 4 3 5 利润（元/件） 12 0 3 5 D 16 4 0 1 C 15 2 2 4 B 20 3 1 2 A 设备能力 （小时） 甲 乙 丙 产品 设备 【例1.1】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-1所示 ，已知各设备在计划期内的能力分别为20、15、16、12小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为4、3、5元。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？ 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为： 线性规划的数学模型由 决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints 构成。称为三个要素。 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 200万m3 500万m3 工厂2： 【例1.2】 河流1：每天流量500万m3 ；河流2：每天流量200万m3 ,水质要求：污水含量≤0.2% 2万m3 1.4万m3 污水从工厂1流向工厂2有20%可以净化处理污水成本：工厂1 1000元/万m3； 工厂2 800元/万m3 问两个工厂每天各处理多少污水总成本最少？ 工厂1： 【解】设x1 、x2分别为工厂1、2每天处理的污水量（万m3），则 数学模型为： 【例1.3】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是2.9，2.1,1.5（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。例如y1=2,y2=0则y3