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线段树 线段树 在一类问题中，我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段，例如说映射在OX轴上的线段。由于线段是可以互相覆盖的，有时需要动态地取线段的并，例如取得并区间的总长度，或者并区间的个数等等。一个线段是对应于一个区间的，因此线段树也可以叫做区间树。 线段树的构造思想 线段树是一棵二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。每一个叶子节点表示了一个单位区间。对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2,b]。 线段树的运用 线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态维护的信息，视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性，可以适应不同的需求。 例1 桌子上零散地放着若干个盒子，桌子的后方是一堵墙。如右图所示。现在从桌子的前方射来一束平行光， 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少？ 分析 最直接的做法 设线段坐标范围为[min,max]。使用一个下标范围为[min,max-1]的一维数组，其中数组的第i个元素表示[i,i+1]的区间。数组元素初始化全部为0。对于每一条区间为[a,b]的线段，将[a,b]内所有对应的数组元素均设为1。最后统计数组中1的个数即可。 示例 初始情况 [1，2] [3，5] [4，6] [5，6] 缺点 此方法的时间复杂度决定于下标范围的平方。 当下标范围很大时（[0,10000]），此方法效率太低。 离散化的做法 基本思想：先把所有端点坐标从小到大排序，将坐标值与其序号一一对应。这样便可以将原先的坐标值转化为序号后，对其应用前一种算法，再将最后结果转化回来得解。 该方法对于线段数相对较少的情况有效。 示例 [10000,22000] [30300,55000] [44000,60000] [55000,60000] 排序得10000，22000，30300，44000，55000，60000 对应得1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 [1,2] [3,5] [4,6] [5,6] 示例 初始情况 [1，2] [3，5] [4，6] [5，6] 示例 10000，22000，30300，44000，55000，60000 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 (22000-10000)+(60000-30300)=41700 缺点 此方法的时间复杂度决定于线段数的平方。 对于线段数较多的情况此方法效率太低。 使用线段树的做法 给线段树每个节点增加一个域cover。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对应的区间未被完全覆盖。 程序实现 线段树的数据结构表示 1、动态数据结构 2、完全二叉树 动态数据结构 type pNode = ^TreeNode; TreeNode = record b, e: Integer; l, r: pNode; cover: Integer; end; 完全二叉树 完全二叉树 type TreeNode = record b, e: Integer; cover: Integer; end; 插入算法 procedure Insert(p, a, b: Integer); var m: Integer; begin if Tree[p].cover = 0 then begin m := (Tree[p].b + Tree[p].e) div 2; if (a = Tree[p].b) and (b = Tree[p].e) then Tree[p].cover := 1 else if b = m then Insert(p * 2, a, b) else if a = m then Insert(p * 2 + 1, a, b) else begin Insert(p * 2, a, m); Insert(p * 2 + 1, m, b); end; end; end; 统计算法 function Count(p: Integer