第三章线性方程组.pptVIP

Ch3、线性方程组 §1、向量组的线性相关性 定义1: 称为n维列向量， 称为n维行向量， 称为第i个分量。 定义2：对向量 ，若有一组数 ，使 ，则称 是 的线性组合，或称 可由 线性表示。 例如，对 ，有 ，即 是 的线性组合，或称 可由 线性表示。 定义3：对两个向量组 ，如A中的每一向量均可由B中的向量线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。若A可由B表示，B也可由A表示，则称A与B等价，记为A~B。 定义4：对向量组 ，若有一组不全为零的数 ，使 , 则称向量组 线性相关，否则称向量组 线性无关。 例如, 对上面的 , 有 由定义知 线性相关。 定理1：向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m ?1个向量线性表示。 证：(充分性)不妨假定 可由其余m?1个线性表示, 即 若令 ，则 不全为零，由定义知 线性相关。 必要性：设有不全为零的 ，使 ，不妨令 ，则 即 可由其余m-1个向量线性表示。 推论：向量组线性无关的充要条件是其中任一向量均不可由其余向量线性表示。 参考题1、证明:含有零向量的向量组必相关。 证：设向量组为 ，显然， ，即其中一向量可由其余向量线性表示，由定理1向量组线性相关。 参考题2、向量组 线性无关， ，讨论向量组 的线性相关性。 解：设 ，即 由 线性无关，得 其系数行列式 ，即齐次线性 方程组仅有零解，由定义知， 线性无关。 定理2：若 线性相关，则 也线性相关。 推论：若 线性无关，则 也线性无关。 可简记为“全体无关，部分无关；部分相关，全体相关”。 定理3: 设 无关, 而 相关, 则 可由 表示,且表示式唯一. 证: 相关, 即有不全为零的 , 使 若