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第三章 信号变换基础ppt课件
球化———使输出z(t)的各分量 的方差为1,而且互不相关(但未必相互独立) 正交变换—使 的方差保持为1,同时使各 尽可能互相独立 相关性———二阶统计量的要求 独立性———通常为三阶和四阶统计量的要求 ICA——各分量在能量(方差)相等的条件下尽可能独立 PCA(或SVD)——按能量大小排序的分解,只保证分解出的分量互相正交 由于ICA是在某一判据意义下进行的寻优计算,两个内容: (1)一组信号接近互相独立的判据(或准则) (2)采用的具体算法 从原理上最根本的独立性判据是: ——概率密度函数的独立性 互信息 独立时 I(y)=0 判据一:利用统计独立性与互信息测度间的关系 H(y)——信息熵 (选择B)求y=Bx使I(y)达到极小 判据二:信息极大化判据(Informax) 判据三:极大似然判据 判据四:直接采用高阶统计量 非线性主分量分析——用于独立变量方分析,其结果与从信息论出发得出的结果相一致。此方法不是建立在信息论框架下,而是线性PCA的引申。 线性PCA: 特征矢量ui为基矢量,以内积 作为分解的权重 非线性PCA: 为内积的某一非线性函数 作为第二步的正交变换,选择正交变换矩阵U,y=Uz 优化判据 误差 极小 * 以三维空间为例 为一组基,向量ν在 的坐标为 取另一组基向量 ,其在原基向量 上的坐标分别为 即: 问:v在 下的坐标和在 上的坐标关系? 设: v在 上的坐标为 即 可有: 将前式代入得: 由此可得: 上式表示三维空间任一向量在不同基下坐标应满足的一个线性关系。 一般地: 上式称为由变量 到变量 的线性变换。变换取决于矩阵: 信号(函数)的变换(线性) 特征向量与特征值----- 研究变换矩阵 ——n维非零列向量 C——n维方阵 使 —系数(对 的压缩或伸长系数) 称 ——C的特征向量 ——特征值 由于 ,有 求出 性质: (k为正整数) (称为“迹”,对角元素之和) (3)C的不同特征值对应的特征向量线性无关 (4)C--- 实对称, ---- 实数 线性无关且正交 矩阵的奇异值分解 (1)设X为N阶对称矩阵,则总存在正交矩阵Q使 其中 为矩阵X的特征值,而Q的N列向量组成X的一个完备的标准特征向量系。 (2)设X为MXN矩阵,秩为r,则存在M阶正交矩阵U和N阶正交矩阵V,使: 其中 而 是矩阵 的所有非零特征值,称 为X的奇异值,而 称为X的奇异值分解(SVD) -----基 -----对偶基 的变换 正交变换与正交函数系 正交变换与正交函数系 在线性变换y=Ax中,若A为正交矩阵,则称为正交变换: y A x 一般各种正交变换都能在不同程度上减少x的相关性。 x、y推广到函数 3.13 常用正交变换 (1)离散余弦变换 设 ,令 则 称为离散余弦变换 其中变换矩阵 ,它的元素 如 L(n)为正交矩阵——正交变换——图像信号处理 (2)K-L变换 其正交变换对应的矩阵由样本x的协方差矩阵 所对应的特征向量所组成的矩阵U,即 称y为x的K-L变换。称 为y的K-L展开 可以证明,在用方差作为衡量标准时,K-L变换是压缩特征空间维数的最佳标准正交变换,即用K-L变换压缩维数(或去掉一些较小的特征值 后),所造成的均方差损失最小。 K-L变换 的协方差矩阵 是一个对角矩阵,即
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