2.6无穷小与无穷大.pdf

2.6 无穷小量与无穷大量 一﹑无穷小量 二﹑无穷大量 三、无穷小的比较 四﹑等价无穷小代换 一、无穷小量 定义1: 时, 函数 则称函数 (或x →∞) 为 时的无穷小 . (或x →∞) 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2 ）零是可以作为无穷小的唯一的常数. （3 ）无穷小是相对于自变量的某一具体变 化过程而言的. 定理 . ( 无穷小与函数极限的关系) lim f (x) A f (x) A +α, 其中α为 x →x0 x →x 0 时的无穷小量. 证 必要性 设 lim f (x ) A, 令α(x ) f (x ) −A, x →x 0 则有 lim α(x ) 0, ∴f (x ) A +α(x ). x →x 0 充分性 设f (x ) A +α(x ), 其中α(x )是当x →x 时的无穷小, 0 则lim f (x ) lim (A +α(x )) A + lim α(x ) A . x →x 0 x →x 0 x →x 0 无穷小的性质 性质1：有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注 无限个无穷小的代数和是无穷小吗？. 不是 意 1 1 但n个 之和为1不是无穷小. n →∞时, 是无穷小， n n 性质2： 有限个无穷小的乘积仍是无穷小. 性质3： 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 例如： 1 当x →0时, x sin 是无穷小 x 1 + 2 是无穷小 当x →0 时, x arctan x 当x →0时, 4x 2 是无穷小 二、无穷大量 定义2: 时, 函数 的绝对值无限增大, (或x →∞) 则称函数 为 时的无穷大 .