第一讲圆的基本概念及垂径定理.doc

第一讲 圆的基本概念及垂径定理 一、知识点、考点集结 1、圆的两种定义 动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形． 2、点与圆的位置关系 平面内一点A到圆心O的距离为d，圆的半径为r dr ←→ A在圆外 d=r ←→ A在圆上 dr ←→ A在圆内 3、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做优弧. 4、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做 三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形. 5、圆的对称性 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. ①CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⑤AD=BD. 垂径定理的逆定理：上述五个条件中，知道任意另个，可以得到另外三个结论。 例 如：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ① ③ → ② ④ ⑤ 二、典型例题精讲： （一）圆的有关概念 例1、如下图， (1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径； 线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 例2、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数． （二）点与圆的位置关系 例3、已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米 （1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ （2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ （3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ （4）若以A点为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个 点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？ （三）确定圆的条件 例4、如右图是一块破碎的圆形玻璃片，请找出圆形玻璃片的圆心和半径。 例5、如图，在△ABC中，BD、CE是两条高，你认为B、C、D、E在同一个圆上么？请说明理由。 例6、如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径。 （四）圆的对称性 例7、今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)． 例8、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。 例9、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm， 求AB的长。 例10、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求CD的长。 例11、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。 例12、如图所示，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且MB:MA＝1:4，求工件的半径的长。 例13、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做吗？ 例14．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米） （五）能力提高训练 求证：夹在圆中两条平行弦之间的弧相等。 三、课堂检测 1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．下列命题中，正确的是 （ ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧