1.5矢量积分定理.ppt

* 其中，S为回路C所包围的面积。 1.5 矢量积分定理 一、常用的几个积分定理 1．高斯散度定理 2．斯托克斯定理 高斯散度定理建立了体积分和面积分的关系。设V是由一闭曲面S所包围的体积，而 是一个在V内有连续导数的矢量函数，则 其中 是S的外法向单位矢量。 斯托克斯定理建立了面积分与线积分间的关系。设S是由一闭合但不交叉的曲线C所包围的双侧曲面，而 是在S上有连续导数的矢量函数，则 * 设R是xy平面上由一个简单闭曲线C所围的一闭区域，而M与N是R上x，y的连续函数，而且具有连续导数，则 其中C的正方向为逆时针方向。 这一定理实际是斯托克斯定理的一个特殊情况，即曲面S变成平面R的一个特例。 证明：令 式中dR=dxdy。 3．平面格林定理 * 有两个标量格林定理，分别称为格林第一定理和格林第二定理。 格林第一定理的数学表达式为 其中φ，ψ是在V中具有连续二阶导数的任意标量函数。 格林第二定理的数学表达式为 二、其它积分定理 4．标量格林定理 证明：令高斯散度定理中 这里 是常矢量，代入高斯散度定理 * 因为 是非零常矢量，得　 将常矢量 提出积分号外，得 * 是非零常矢量，所以 证明：令高斯散度定理中 这里 是常矢量，代入高斯散度定理 * 利用矢量恒等式 利用高斯散度定理　　 所以　　 类似有　 因此 证明：矢量 在直角坐标中有3个分量，即 * 因为 所以　　 * 证明：以常矢量 对 进行点乘，得到　　　 由斯托克斯定理　 即　　 * 　　一般的矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无源场分量之和，即　　　　　　　 其中， 三、亥姆霍兹定理 在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定。 * 三、亥姆霍兹定理 若矢量场 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界， 源分布在有限区域V’中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该 矢量场 可以表示为 根据 函数性质，当 时, 即 时 * 由矢量恒等式 令 * 其中 将 改写 利用矢量恒等式 考虑到 而 *