第四节定积分的几何应用.pptVIP

§5.4 定积分的几何应用 一、平面图形的面积 二、定积分的元素法 三、旋转体的体积 四、小结、作业 * 直角坐标系下平面图形面积的计算 一、平面图形的面积 图1 如图1所示图形的面积可以视作分 别以 曲边梯形面积的差。因此 为曲边的两个 图2 且 类似地可以得到，由连续曲线 与直 线 所围成的平面图形 （如图2）的面积为 例1 x y 解 所围成的图形如图所示： 平面图形的面积。 例2 的面积。 所围成的图形 解 所围成的图形如图所示: 则 先解联立方程组 线的交点坐标为 得两抛物 则图形的面积为 解 先求两曲线的交点。 例3 注意： 此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取 横坐标 为积分变量，请思考这时为什么？若选取 横坐标 为积分变量能否得到这个问题的结果？ 二、定积分的元素法 在定积分的应用中，经常采用“元素法”。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分的概念时曾经举的两个例子：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程。这两个问题最终都归结为定积分的计算，且它们都满足下述三个条件： (2) 量 对于区间 具有可加性； 的近似值可表示为 (3) 部分量 有关的量； (1) 所求的量 是与一个变量 的变化区间 一般地，如果一个量 满足上述三个条件，我们就可以考虑用定积分来表示这个量。确定量 的积分表达式的步骤是： （1）根据问题的具体情况，选取积分变量 并确定其变化区间 。 （2）在区间 上任取一小区间 ，求出相应于此区间的所求量 的部分量 的近似值： （3） 计算所求量 称为所求量 的元素（或微元）。下面我们利用这一方法来求旋转体的体积。 这个方法就称为定积分的元素法（或微元法）。 圆柱 圆锥 圆台 三、旋转体的体积 旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴． x y o 旋转体的体积公式 推导 * * * * *