第八章猜想与反驳课件.pptVIP

第八章 猜想与反驳 第一节归纳猜想 第二节类比猜想 第三节反例反驳 第四节猜想能力的培养 第一节 归纳猜想 归纳猜想是数学素养的一个重要方面, 是合情推理的表现形式之一。猜想——明智的猜想, 是发现的主要途径而归纳是猜想的一个重要前提工作, 或者二者是同步的. 从具体的问题情境, 发现规律, 然后进行形式化、数学化, 这是数学发现的重要步骤. 在这个过程中, 学生的心理活动是丰富的, 而且, 正是由于这样的过程, 学生的数学推理、问题解决和数学创造等才逐步形成; 当这个过程相对比较成熟,形成稳定的心理结构, 那么学生就获得了数学素养重要的一个重要方面。 1.归纳猜想的一般过程 归纳是数学的基本思考方式也是做数学的基本功 。在我们的生活和学习过程中, 归纳猜想起着重要的作用. 许多的规律、数学定理和概念等都是人们通过归纳猜想, 然后进行演绎证明所确立的. 当遇到一个问题情境, 我们首先对此情境进行认真观察，选择几个特殊的案例, 进行比较、试验, 试图发现蕴含着的数学模式;许多重要的数学发现就是在这个过程中闪现出来的, 此时 归纳猜测就形成了, 也就是在问题解决者的头脑中, 本质的事物已经出现. 通过形式化、符号化, 进行数学表达, 那么数学猜想也就完成了. 但是, 还要有最后一个环节：回到问题情境中, 对已经得到的数学归纳猜想进行检验, 这是学生最容易遗忘, 然而必不可少的阶段. 只有通过检验, 归纳猜想才算有了初步的成果, 至于结果的正确性, 还需要数学的演绎推理进行证明, 这属于数学形式逻辑工作 这个过程是属于从特殊到一般的过程. 事实上,在人们进行归纳过程中, 也存在从一般到特殊的归纳. 克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》 中描述了两种不同角度的 归纳：一方面就是学生可以看出 一般的能力, 但是对于他来说有些还是不清晰和孤立的……其意思就是从特殊中可以归纳一般, 正如我们上面所叙述的. 另一方面就是: 学生从他所了解的 一般看出特殊或者具体的例子……也就是从一般可以归纳特殊。 例如NCT M 在《中学数学教学》中设计了这样一个例子: 例2 在一个3 × 3 的方格图案中, 除了中间的格子之外,其余8 个小格子都涂上了阴影( 如图3) . 如果有一个25 × 25的方格图案, 四条边上的小格子都涂上了阴影, 那么有多少块小方格涂上了阴影? 如果是一个n × n 的方格图案呢? 其实, 这个例子和前面的例子类似, 许多学生也正是从特殊到一般归纳猜想出结论的. 然而, 有个学生并非如此, 他首先从一般情况考虑, 他指出: 我在数3 × 3 的方格图案中发现, 第一条边有3 个阴影方格, 第二条边少了1 个, 是2 个, 第三边类似, 第四边就少了2 个( 如图4) , 所以我就推出: s + ( s - 1) +( s - 1) + ( s- 2) = 4s -4, 那么对25× 25 的方格图案, 只要s = 25 就可以了, 所以答案就是4 ?? 25- 4 = 96. 至于n × n 的情况, 只要把s 换成n 就可以了……在我们的数学研究过程中, 从特殊到一般的 在我们的数学研究过程中, 从特殊到一般的归纳猜想是比较常使用的方法。也是是一种重要的合情推理能力, 这是新课程对学生提出的新的要求, 也是学生进行数学创造性学习必不可少的能力.归纳猜想, 可以把具体形象的情境和数学形式化结合在一起进行, 或者在形式化内部之间进行符号化的形式抽象, 处理数学化的归纳猜想. 2.具体与形式相结合的归纳猜想 在问题解决中, 学生使用数学问题结构可以进行合理归纳猜想. 把具体的问题情境和形式的数学符号结合, 是重要的归纳猜想方式. 在归纳猜想中, 激发原有的图式—— 认知结构, 同化新的数学知识, 或者顺应新的数学情境, 是成功进行归纳猜想的重要过程. 再如NCT M 有这样一个问题情境: 例3 ?? 在一个凸八边形有多少条对角线?写出表示凸n 边形对角线的条数的表达?( 此问题也出现于我国初中新课程数学教科书)这个问题提供给没有学过代数的学生. 显然,他们还不能脱离具体情境, 因此, 许多学生首先画出几个简单的多边形进行观察( 如图5) .与此同时, 画出表格帮助他们从形式上进行分析. 例如有学生H 画出表2 来进行归纳猜想. 虽然, 学生H 通过列举几个基本的简单图形寻找模式, 她把相应的对角线的条数也在表格中写了出来, 但是她并没有从形式化的数据上进行归纳猜想.在她以往的数学认知结构中, 关于数据的归纳还没有形成, 所以, 她结合具体图形, 寻找问题的解决方案. 她发现从多边形的每个顶点出发,