矩阵论第五讲.pdfVIP

第五讲    主要内容：Jordan 标准型，Hamilton‐Cayley 定理，最小多项式    3.3.2  复数域上的矩阵相似最简形‐‐‐ Jordan 标准型    若线性变换 没有特征向量构成空间 的基，则它在任何基下的表示矩阵都不可能 是对角阵，也就是说相应的表示矩阵不能对 角化。但是，在复数域上的矩阵可以简化为 一个特殊的准对角阵，该准对角阵的对角线 上的元素是由所谓 Jordan 块构成。一个 阶 Jordan 块的一般形式为      对 ，记 ， 的 阶非零子式的首一最大公因式 称 的 阶行列式因子。  问题 1  的行列式因子是什么?    对 作 —初等变换，是指：  交换 的某两行（列）的次序；  将 某一行乘以非零常数；  将 的某一行（列）乘以一个 的多 项式加到 的另一行（列）上去。  直接计算可得    其中 是首一多项式，称为 的不变因子，且 。称      是 的Schmidt 标准型。  命题 1  ，其中 的与 有相同的零点，且    证明：只需注意初等变换前后行列式的值只 相差一个常数倍数即可。      将 分解因式得：  这里 是 的特征值， ，一切非 零的 所对应的 称为 的初等因子。 每一个初等因子 对应于一个 Jordan  块 。  问题  的初等因子、 Schmidt 标准型是什么?  定理 3.3.16 对 ， ，其中 称 的 Jordan 标准型， 是 Jordan 块。在不记 Jordan 块的次序的意 义下 Jordan 标准型是唯一的。  推论  可对角化的充分必要条件 是所有 Jordan 块都是 阶的，即所有初等因 子都是一次的，也就是 无重根。  例 1 求矩阵      的行列式因子、不变因子、初等因子和