矩阵的初等变换在线性代数中的应用 刘.pdfVIP

( ) 2003 年 12 月　 陕西师范大学继续教育学报 西安 　D ec. 2003 　第 20 卷 第 4 期　　　Journal of Further Education of ShaanxiN o rm al U niversity　　　V o l. 20 N o. 4　 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 李志慧 ( 陕西师范大学数学与信息科学学院　副教授、博士　西安 710062) 　　摘　要: 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用. 本文较详细地 论述了矩阵的初等换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基 等问题中的应用. 关键词: 矩阵; 初等变换; 矩阵的秩; 标准正交基 ( ) 中图分类号: O 151. 2　文献标识码: A 　文章编号: 1009- 3826 2003 04- 0103- 03 1　引言 　　矩阵的初等变换之所以在求矩阵的逆、二次型 矩阵的初等变换起源于解线性方程组的三类同 的标准形等问题中非常奏效, 其理论依据主要来 自 解变换, 即交换两个方程的位置; 给某一个方程乘以 如下命题: 命题 1[1 ] 对一个 × 矩阵 作一次初等行变 ( ) ( s n A 一非零数 这里 ∈ ; 给某一个方程乘以数 c c F k k 换就相当于在 的左边乘上相应的 × 初等矩阵; ∈ ) 加到另一个方程等. 我们知道, 一个线性方程组 A s s F 是与它的增广矩阵唯一对应的, 因此, 当矩阵的初等 对A 作一次初等列变换就相当于在A 的右边乘上 相应的 × 初等矩阵. 变换这一概念提出后, 解一个线性方程组就等价于 n n 利用矩阵的初等变换来化简一个增广矩阵, 而这一 这个命题的意义在于当我们用初等变换来化简 转化过程无疑对解线性方程组会带来方便. 至此, 矩 矩阵A 以后, 会产生一个与A 有关的等式, 而这个 阵的初等变换似乎已完成了它所要承担的“任务”, 等式无疑会为我们研究矩阵A 的性质、量化关系以 但事实远非如此. 随着矩阵理论的发展, 新概念不断 及与A 有关的问题带来方便. 产生, 新的问题也随之产生, 如求解矩阵的秩, 化二 3　初等变换的应用 ( ) 次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等, 1 求