矩阵特征值和特征向量的常微分方程数值解法研究.pdfVIP

长江大学学报 (自然科学版) 2009年3月第6卷第1期：理工 JournalofYangtzeUniversity(NatSciEdit) Mar．2009．Vo1．6No．1：Sci Eng ·113 · 矩阵特征值和特征 向量的常微分方程 数值解法研究 吕一兵 ，陈 忠 (长江大学信息与数学学院，湖北~AO*l434023) [摘要]介绍 了矩阵的特征值与特征 向量 以及常微分方程 的相关概念，利用神经网络方法建立 了求解矩阵 特征值和特征 向量的神经网络模型，并运用常微分方程数值解法—— 四阶龙格一库塔方法进行 了求解，分 析 了矩阵特征值与特征 向量的计算与常微分方程数值解之间的关系。 [关键词]特征向量；特征值；常微分方程；数值解；神经网络 [中图分类号]0241．8；O151．21 [文献标识码]A [文章编号]1673—1409 (2009)O1一N113一O2 数值分析也称计算方法，是研究各种数学问题求解 的数值计算方法，同时也是各理工科院校普遍开 设的一门课程，其主要研究内容包括 4个方面：插值与逼近、数值微分与数值积分、常微分方程与线性 方程组的数值解法 、矩阵的特征值与特征向量计算。在 以往 的数值分析教学中，常常认为上述 4个研究 内容具有一定的独立性 。事实上 ，随着研究方法的不断丰富，上述 4个研究内容之间存在一定的联系。 笔者主要探讨常微分方程 的数值解法与矩阵特征值与特征向量计算之间的关系。 矩阵的特征值与特征向量 已知A一 ( ) 为 阶矩阵，要求代数方程 ： (A) 一det(2d--A) 一O (1) 的根。 ()称为A的特征多项式，展开即有 ： () === +C1一 + …+C一0 (2) 一 般 ()有 个零点，称为A的特征值。 设 为A的特征值 ，齐次线性方程组 ： Ax=Ax (3) 的非零解 称为A 的对应于 的特征 向量 。 一 般而言 ，求矩阵的特征根与特征向量有幂法及反幂法、雅可 比方法、豪斯荷尔德方法 以及 QR算 法等 。 2 常微分方程的数值解 常微分方程的定解问题最简单的形式为 ： 一 f(x，) 、 1(,TO)：：=Yo 虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法 ，但鹪析方法只能求解一些特殊类型的方程 ，实际问题中 归结出来的微分方程主要靠数值解法。所谓数值解法 ，就是寻求解 (z)在一系列离散节点： 1 z2 … z z卉1 … 上的近似值 Y，Y ，…Y，井 一。相邻 2个节点的间距 h：z井 一z 称为步长。 [收稿日期]2009一O1～24 [基金项目]湖北省教学研究项目 ；长江大学重点课程资助项目。 [作者简介]吕～兵 (1979一)，男，2002年大学毕业，博士，现主要从事最优化理论与算法方面的研究工作。 长江大学学报 (自然科学版) 2009年 3月 3 基于常微分方程的矩阵特征值与特征向量计算 因此，可以构造如下神经网络模型 ： 一 一 z 由神经网络的相关理论 ，不难得知神经网络模型的平衡点，即满足线性方程组 Ax— z===0 的非零解解 z为矩阵A 的特征向量 。另外，由神经网络的表达形式可知 ，神经网络的动力学行为可 以 由一系列的常微分方程进行描述 。因此对神经网络模型的求解可以采用常微分方程数值解 的方法进行， 『1 2 —2] 例1求矩阵A—fl一32 2I的实特征值及对应的特征向量。 ～ 2 — 3 6 j 一 z +2x2_ 2z。 一 3