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矩阵初等变换在初等数论中的应用.pdf
应用技术
●I
矩阵初等变换在初等数论中的应用
郑晓婉 林 巧 钟晓瑜
(浙江师范大学数理信息与工程学院 321004)
[摘 要]本文以矩阵的初等变换为工具，给 出了初等数论中关于最大公因数，最小公倍数和解线性不定方程的新的求法。
[关键词]矩阵初等变换 最大公因数 最小公倍数 线性不定-l方程
中图分类号：015112 文献标识码 ：A 文章编号：i009—914X(2011)14—0319一O1
矩阵作为一种工具已被广泛地运用于各个学科 的理论研究中，其中在初
等数论中的应用也一直为人们所关注。文献 _11分别给出了在求晟大公因
数、最小公倍数、求解线性不定方程等的矩阵方法，本文将在此基础上对矩阵 fq 。A 0l d『blI 2^ ]
初等变换在初等数论 中的若干应用进行整合，并简化部分应用的方法。 ai,，A 的最大公因数．即：一1【o1 《骂 JM0 A。1．
1求两个整数的最大公因数、最小公倍数 0oA 1J l0b AbJ
例2求899，1247，2407的最大公因数．
命题 i 设 b∈z．．{
[It]一Ill：(，：．】则存在町逆的整数矩阵B，使得 r899 10 0、 r29 15 —5—3]
= 解构造矩阵并作初等行变换：j ’。 。l——l。一 I
24口700 L0 12 l 5
由命题3得，899，1247，2407的最大公因数的最大公因数为29．
b
证明 由 7b∈Z，则存在址1∈‘Z，使M+1b= 6J．若令 ． b) 3利用矩阵初等变换求 元线性不定方程的整数解
d 命题 3 对于一般的 元一次不定方程q 2+A +n =6，有
“zb1
=翮，则1r+bt=0：一t’晶n(，b)+d(‘．b)=(，b)一～．’t‘
” = ． 】则，”： + ，”—ab=，
． 构造整数矩阵雪=lj]，满足整数解的充要条件是d6，且有解时，其通解是M
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叫 = ] 为 自由变量， ：b
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