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偏微分方程 (Partial Differential Equations) § 1 簡介  變數可分離偏微分方程 [Separable Partial Differential Equation] ── 線性方程式 [Linear Equation] 雙變數線性二階偏微分方程式 [P.D.E.]之一般型式為： 2 2 2  u  u  u u u A 2 B C 2 D E Fu G …….….. (1) x xy y x y 其中，A ，B ，C ，… ，G 均為 x ，y的函數。 **當 G = 0時， (1)式稱為齊次[Homogeneous] P.D.E. ；而當G 0時， (1)式稱為非 齊次[Non-homogeneous] P.D.E. 。 ── 變數分離[Separation of Variables] 一般求解常係數 P.D.E.特解 [Particular Solution]的方法很多，其中最重要的是分 離變數法 [Method of Separation of Variable] 。此法，可將P.D.E化成一組 O.D.E. 。 以雙變數函數u (x , y ) 而言，可假設 u(x , y ) X (x)Y(y ) ………….. (2) 因此，各種偏微分變成： u  2u X Y 2 x x X Y  及  2 (3) u X Y   u X Y  y y 2 此處，”撇號 ”代表常微分運算。 2  u u Ex.試求 D.E. ： 2 4 的乘積解 [Product Solution] 。 x y Sol 令u(x , y ) X (x )Y (y ) ，代入原 P.D.E.後，同除 4XY可得   X Y …….…... (4) 4X Y 上式左邊與變數y 無關，右邊與變數x 亦無關，且兩邊欲相等。因此，可推論出，上 式兩邊應與 2 2 x及 y 均無關，而應該是等於一常數。一般取此常數為或  ，稱之為 分離常數 [Separation Constant ，為一實數] 。因此，可分成三種情況來討論： 1. 2 當  0時， (4)式應變成   X Y 2 …….…... (5) 4X Y 由此得出一組 O.D.E ： 1