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第三节　等比数列 * 页脚 页脚 新王牌/ 基础梳理 1. 等比数列的定义 一般地，如果一个数列 __________________________________________________， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ______，通常用字母____表示． 从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 公比 q 2. 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝ ______________，即等比数列{an}的通项公式，其中a1为 首项，q为公比． a1qn－1 3. 等比中项 如果__________________，那么G叫做a与b的________． a，G，b成等比数列 等比中项 4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m， n∈N*)，则____________________． qn－m　 ak·al＝am·an (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}， ，{an2}，{an· bn}， (bn≠0)仍是等比数列． 5. 等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q ＝1时，Sn＝______；当q≠1时，Sn＝____________， 即Sn＝ 或Sn＝ . na1 a1＋a1q＋…＋a1qn－1 6. 等比数列前n项和的性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(均 不为零)仍成等比数列． 基础达标 1. (2010·江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学高三调研测试)设等比数列{an} 的公比q ＝ 前n项和为Sn，则 ＝________. 解析： 2. (2011·金陵中学月考)等差数列{an}的公差d≠0，且2a3 －a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝ ________. 解析：由等差数列的性质得a3＋a11＝2a7，结合已知2a3－a72＋2a11＝0得4a7－a72＝0，解得a7＝4(a7＝0舍去)．再由等比数列的性质知b6b8＝b72，而b7＝a7，故b6b8＝16. 3. (必修5P52习题7改编)设 则a＋3b的最大值为________． b是1－a和1＋a的等比中项， 解析：方法一：由条件知3b2＝1－a2，即3b2＋a2＝1， 设x＝ b，y＝a，则x2＋y2＝1， 令z＝a＋3b＝y＋ x，则原 题可转化为单位圆与直线有公共点，∴ 方法二：由条件知3b2＋a2＝1， 设a＝cosα，b＝ sinα， 则a＋3b＝cosα＋ sinα＝2cos ≤2. 4. (必修5P59习题7改编)设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2004 和a2 005是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2007＋a2008＝______. 解析：由题意得a2 004＋a2 005＝2，a2 004·a2 005＝ 又∵q＞1， ∴a2004＝ ，a2005＝ ，q＝3， ∴a2 007＋a2 008＝(a2 004＋a2 005)q3＝54. 5. (2010·北京)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0. (1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn} 的前n项和公式. 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a3＝－6，a6＝0， 所以 解得 所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12. (2)设等比数列{bn}的公比为q， 因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，即q＝3， 所以{bn}的前n项和公式为Sn＝ 经典例题 题型一　等比数列的基本运算 【例1】　(2010·浙江改编)设Sn为等比数列{an}的前n项 和，8a2＋a5＝0，则 分析　设出关于a2，q的方程然后解之． 解：设公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a2＋a2q3＝0， ∴q＝－2， 变式1－1 (2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1， 且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 解析：(1)由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得 解得d＝1(d＝0舍去)， 故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得