6.3用正交变换化二次型为标准型.ppt

* 第六章 二次型 §6.3 用正交变换化二次型为标准形 §6.3 用正交变换化二次型为标准形 五、用正交变换化二次型为标准形的方法 四、实对称矩阵与二次型的一些性质 三、正交变换 二、正交矩阵 一、问题的引入 六、在二次曲线中的应用 引例 考察方程 所表示的曲线。 由 一、问题的引入 利用拉格朗日配方法可得： (1) 令 (2) 令 或 或 引例 考察方程 所表示的曲线。 一、问题的引入 (3) 令 即 其中 问题 哪个方程描述了真正的椭圆呢？ x y 引例 考察方程 所表示的曲线。 一、问题的引入 二、正交矩阵 定义 设 A 为 n 阶实矩阵，若 A 满足 则称 A 为正交矩阵。 此时显然有 例如 设 则有 故 A 为正交矩阵。 P176 定义 6.5 二、正交矩阵 性质 (1) 若 A 为正交矩阵，则 也为正交矩阵； (2) 若 A 为正交矩阵，则 或 (3) 若 A, B 为正交矩阵，则 A B 也为正交矩阵； (4) 方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量 构成标准正交向量组。 证明 (仅证性质 (4) 中列向量的情况) P176 定理 6.3 补充 将矩阵 A 按列分块 则 即 A 为正交阵 A 的列向量构成标准正交向量组。 证明 (仅证性质 (4) 中列向量的情况) 例 下列矩阵是否为正交阵？ (1) A 是正交矩阵; 答 (2) B 不是正交矩阵。 (将 B 的每一列单位化即得到正交矩阵) 例 设方阵 A 为正交阵，且 试证 A + I 不可逆。 即 A + I 不可逆。 证 从而有 上式两端取行列式并由 得 三、正交变换 若 P 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换。 定义 性质 设 为线性变换， 则下列命题等价： (1) 线性变换 为正交变换； (2) 在线性变换 下，向量的内积不变，即 当 时，有 (3) 线性变换 把 中的标准正交基变成标准 经过正交变换后，向量 (线段) 的长度、夹角保持不变， 优点 曲线 (曲面) 的形状、大小保持不变。 正交基。 P176 定义 6.6 P176 定理 6.4 (1) (2)： (2) (3)： 设 为 中的标准正交基， 经线性变换 后得向量组 从而 为 中的标准正交基； 即 C 为正交阵， 若 为正交变换, 若在线性变换 下，向量的内积不变, 证明 (采用循环证明的方法完成其等价性的证明) 则有 (3) (1)： 设 则有 由于 和 都是正交阵， 若 把 中的标准正交基变成标准正交基， 设 为 中的标准正交基， 经线性变换 后得向量组 也为 中的标准正交基。 则 也是正交阵。 因此 从而 为正交变换。 证明 (采用循环证明的方法完成其等价性的证明) 目标 求正交矩阵 P，即 使得 或 要求 (1) 矩阵 P 的列必须为 A 的特征向量； (2) 矩阵 P 的列必须为正交向量组； (3) 必须是 A 的特征值。 三、正交变换 四、实对称矩阵与二次型的一些性质 1. 实对称矩阵的性质 (1) A 的特征值都是实数； 性质1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有 (2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交； P178 定理 6.5 证明 (1) 设 l 是 A 的特征值, 又由 有 故 则存在 使得 对上式两端取共轭转置，并利用 得 其中 是 X 的共轭。 从而有 即得 即实对称矩阵 A 的特征值都是实数。 (a) (b) 证明 (2) 设 是 A 的两个不同的特征值， 分别是 对应于 的特征向量， 则 因此