6-3二次型的标准形.ppt

信息系 刘康泽 中南财经政法大学刘康泽 第 6-3 节 二次型的标准形 作线性变换: 也就是: 于是作非奇异 线性变换: 即 一、二次型的标准形 【定义】若二次型经过非奇异线性变换（）化为形如 （1） 的二次型，则称（1）式为二次型的标准形。 记 ，， 则，标准型的矩阵为对角矩阵。 【定理】任意一个二次型总可以经过非奇异线性变换化为标准形 。 证明：由于二次型的矩阵是实对称阵，故总存在可逆矩阵，使得成为对角阵，即 。 作非奇异线性变换，有 （标准形）。 由定理的证明看出：化二次型为标准形的问题，实质上是求一个可逆矩阵, 使变为对角阵。 【注1】标准形中平方项前的系数可能 包含零元素，不妨设 ， ， 则标准形为： 其中是原二次型的秩。 【注2】 由于，故与标准形的矩阵合同，即。 且有，故二次型的秩等于中非零元素的个数。 二、用初等变换法化二次型为标准形 根据上面的定理，可以用初等变换的方法将二次型经过非奇异线性变换化成标准形。 注意到：用初等矩阵右乘表示对进行某种初等列变换，用初等矩阵左乘则表示对进行同类型的某种初等行变换。 对于非奇异线性变换，因可逆矩阵都可以表示为若干个初等矩阵的乘积，即有。 故上式的意义在于：同类型的行与列的初等变换（简称为合同变换）可以把变成对角阵。 类似于逆矩阵的初等变换求法，可以用单位矩阵记录对所作的列变换，从而得到：。 对作同类型的初等行变换 对作一系列初等列变换 根据上述分析，得到用初等变换法化二次型为标准形的一般方法： (1) 先对矩阵进行初等列变换，再对进行同类型的初等行变换，当矩阵化为对角矩阵时，下面的单位矩阵就化为可逆矩阵。 （2）给出非奇异线性变换，则 为所求的标准形。 例1 求非奇异线性变换，使二次型 成为标准型。 解：二次型的矩阵， 用初等变换法化矩阵为对角矩阵，有 由上式，可得 ， 。 作非奇异线性变换，有： 。 例2 用初等变换法化二次型 为标准形，并求出所用的初等变换。 解：二次型的矩阵为 ， 用初等变换法化矩阵为对角阵，有 由上式知，所用的非奇异线性变换为： ＝， 二次型的标准形为： 。 三、用配方法化二次型为标准形 用配方法化二次型为标准形，实际上是通过配方把二次型化成平方和的形式。 【定理】任意一个二次型都可以通过配方找到一个非奇异线性变换＝，化为标准形 。 证明 设二次型为 。 对变量作数学归纳法。 当时， ，显然结论成立。 假设对元的二次型结论也成立，现在讨论元二次型。 下面分三种情况讨论。 第一种情况： 中至少有一个不为0，不妨设。这时 ， 这里 ， 是的二次型。 显然，这是一个非奇异线性变换。它可使原二次型变为 ， 对关于的元二次型，由归纳假设， 存在非奇异线性变换： 使得 。 原二次型变为标准形 。 第二种情况：，但至少有一个， 则原二次型变为 不妨设，作非奇异线性变换 上式右端是的二次型，且的系数为，于是由第一种情况知，存在非奇异线性变换 使二次型化为标准形。 这里所采用的非奇异线性变换为 第三种情况： ，。 由于，，所以 。 这时，原二次型即为 由归纳假设，它可以用非奇异线性变换化为标准形。 定理的证明过程实际上给出了用配方法寻找非奇异线性变换将二次型化为标准形的方法。 配方法： 例3 用配方法化二次型 为标准形，并求出所采用的非奇异线性变换。 解：因为式中含有的平方项，先将二次型中所有含有的项进行配方，有 对剩下的项，关于进行配方： 。 配方完成。作非奇异线性变换： 即： 也即 。 二次型的标准形为： 。 例4 化二次型为标准形，并求出所采用的非奇异线性变换。 解：在二次型中，不含的平方项，只含交叉项，故先作非奇异线性变换： （1） 可使二次型变为： ， 配方，可得 ， 上式经非奇异线性变换 化为标准形 。 将（2）式代入（1）式，可得 ， 这是所求的化原二次型为标准形的非奇异线性变换。 例5 化二次型 为标准形。 解：令 ， 则 。 四、用正交变换法化实二次型为标准形 实二次型所对应的矩阵是实对称阵，由于实对称阵总可以正交相似对角化，即存在正交矩阵，使得 。 故可采用非奇异线性变换（此时常称为正交变换）将二次型化为标准形。 【定理】任意实二次型都存在正交变换，其中，使其化成标准形 ， 这里为的个特征值。 证明：设是实二次型，故为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵，其中，使 , 这里为的全部特征值。 作正交变换，得 。 于是实二次型被化成了标准形。 【注】正交变换后的标准形中平方项的系数恰好就是的特征值；而正交变换矩阵却是经正交化和单