6-2二次型的标准形.ppt

第二节、二次型的标准形 拉格朗日配方法的具体步骤 作业 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回 设 　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 的二次型，称为二次型的标准形。 注意：标准形对应的矩阵是对角矩阵．因此，二次型化标准型的问题，就是矩阵与对角阵合同的问题． 证 即 为对称矩阵. 说明 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 解 例3 　　用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 　　问题　有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 　　问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法． 定理2.2 任何一个二次型都可通过非退化线性变换化为标准形。 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线 性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤 　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方. 解 例4 含有平方项 去掉配方后多出来的项 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回