勾股定理毕业论文.pdf

学科分类号（二级）110.17 本科学生毕业论文（设计） 题 目 包含任意整数的勾股数 姓 名 洪鹏鲲 学 号 094080350 院 、系 数学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 职称（学历） 副教授 （硕士） 包含任意整数的勾股数 摘要：本文解决了求任意整数的勾股数，以勾股定理为出发点，利用初等数 学知识，主要运用数学方法推理证明，利用计算机进行辅助求证.研究不定方程 2 2 2 x y z 的一些性质，发现并证明了勾股数之间的一些规律.具体解决三个问 题：一.已知数是直角边长时，求另两边长；二.已知数是斜边时，求两直角边长； 三.求任意整数的勾股数及组数. 关键词:勾股数；平方和；整数解 1.前言 [1] 勾股定理 是人类文明史上光彩夺目、永不消逝的明珠.是人类发现的第一 个定理、第一个不定方程、证法第一多的定理.它引发了第一次数学危机，开始 把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学. 我们知道，勾股定理的代数关系式a2 b2 c2 ，当已知直角三角形的任意两 条边的长度时，根据这个关系式就可以很快而直接地求得这个直角三角形的第三 条边的长度.而现在，假设已知直角三角形的一条边的长度且为整数，那么，另 外两条边的长度都为整数的解能否求得？直观上看，答案可能有无数组解，因为 一个方程中有两个未知数.但当我们求解时就会发现，答案并不是那样简单.虽然 这里是一个不定方程两个未知数，但条件要求是整数解，这其实是特殊二元不定 方程.本文就是以此为出发点，运用数学方法推理证明，最终就会发现：任意大 于2 的整数都可以作为整直角三角形的直角边长，而不一定能作为斜边长.给出 一个数就可以求出包含它的所有勾股数. 2.基本定理及性质 2.1 勾股定理 [1] 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 . b a2 b2 c2 若直角三角形两直角边分别记为 ， ，斜边记为 ，那么有 .其 a c b 中 ， 中的短边称为勾，长边称为股， 边称为弦. a c 2.2 勾股数 2 2 2 满足不定方程x y z 的正整数叫做勾股数（商高数），也叫毕达哥拉斯 [2] z 数 .其中 ， 中的较小数称为勾数，较大数称为股数， 称为弦数. x y 2.3 整数集合 N 表示非负整数的集合（自然数集）. N  N 或 表示正整数集合.  a N N 表示元素 属于集合 . a 2.4 整直角三角形 1 各边长都为整数的直角三角形. 2.5 完全平方公式及性质 完全平方公式 1：(a b)2 a2 2ab b2 . 2.6 奇偶数平方的性质