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第十章习题课 主 要 内 容 3.两类曲线积分之间的联系 （三）格林公式及其应用 1. 格林公式： (1)格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广， 其中L是D的正向边界曲线（有向性）. D是有界闭区域（封 在D上有一阶连续偏导数（连续性）. 上的二重积分与区域边界上的线积分的联系. 注意： (2) 公式的记忆方法： 沟通了区域 (3)对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全 部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向? 闭性）， (4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有： ——格林公式; (5) 格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算. (6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别 点上一阶偏导数不连续， 格林公式不能直接使用， 此时往往需添加辅助线， 然后再作计算. 2. 格林公式的应用： (2) 简化计算曲线积分 (1) 利用曲线积分计算平面图形的面积 闭区域D的面积 (3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件 (4)二元函数的全微分求积 ——格林公式; 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 (1)在G内 与路径无关， (2)在G内存在u(x,y), 使 (3)在G内， (4) 闭曲线 在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的 一阶偏导数， 则以下四个命题等价. 说明：1.四个等价命题 2.多元函数的原函数： 由此,可以求某个全微分的原函数， 并且原函数不唯一 * * 第十章复习课 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲面积分 定积分: 二重积分: 三重积分: 显然 （一）曲线积分的概念与性质 （二）曲线积分的计算方法 （三）格林公式及其应用 一、 曲线积分的计算法 （四）线积分的应用 （一）曲线积分的概念与性质 （1）定义 设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的， 且有 有限长度， 函数z=f(x,y)在L上有界， 在曲线L上依次 插入分点 及 为L的两个端点), 把L分成n个小弧段 记小弧段 的长度 为 并在 上任取一点 如果极限 存在， 1.对弧长的曲线积分的概念及性质 存在， 如果极限 则称此极限为 函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分， 记作 即 积分变量 积分弧段 被积表达式 弧长元素 积分和式 曲线形构件的质量 也称第一类曲线积分. 注意： (1)曲线积分也是一个确定的常数， 它只与被积函 数f(x,y)及积分弧段L有关. (2) f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 (3)若L 分段光滑的 则有 (4)存在条件： 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时， 对弧长的曲线积分 存在. (5)物理意义： 是线密度在L上的线积分. (6)几何意义： 即：高在底L上的线积分. (7)推广: 函数f(x,y,z)在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为 特别地： 联想： （2）性质 (4)无向性： 对弧长的曲线积分与曲线的方向无关. 即 思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 回忆定积分： 故第一类曲线积分与定积分是有区别的. 2.对坐标的曲线积分的概念及性质 （1）定义 设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有 向曲线， 函数 在L上有界. 沿L的方向依次 取分点 把L分成n个有向小弧段 设 并记 为所有 小弧段长度的最大值. 在 上任意取一点 如果极限 存在， 那么这个极限称为 函数 在有向弧段L上对坐标x的曲线积分， 记作 类似地， 如果极限 存在， 那么 这个极限称为函数 在有向弧段L上对坐标 y 记作 的曲线积分， 即 其中 称为被积函数， 称为被积表达式， (1) L称为积分路径. 说明： (2)与第一类曲线积分记号的区别. 可正可负. 这里的 (3)组合形式 由实例和定义知:变力 沿A B所作的功为： (4)特殊路径情况 x由 若 则 记作 （5）存在条件： 当 在光滑曲线弧L上连续 时， 第二类曲线积分 存在. (6) 推广到 空间有向曲线弧 （2）对坐标的曲线积分的性质 则 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 回忆定积分： 故定积分是第二类曲线积分的特例. 例1. 设曲线L： 过第二象限内的点M和第四象限内的点N， 为L上 （B） （C） （D） （ 具有一阶连续偏导数）, （A） 则下列小于零的是（ ） 从点M到点N的一段弧， B （二）曲线积分的计算方法 基本思路: 计算定积分