线性代数新教材课件ch-6-2.pptVIP

第二节 化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是: North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 一、用正交线性变换化二次型为标准形 二、用配方法化二次型为标准形 上述问题也等价于：　 例1 求一个正交线性变换，将二次型　 化为标准形．对于给定的二次型如何寻找可逆线性变换（或正交线性变换）化其为标准形．故的全部特征值为　，． 正交化得 ，(2) 　；， 定义 如果二次型中只含有变量的平方项，即 ，　 (6.5) 则称这样的二次型为标准形．显然，()的矩阵表示式为：．对应的特征方程为 ，单位化得 ．解 二次型的矩阵为它的基础解系为 ．将代入齐次线性方程组，得 所以标准形的矩阵是对角矩阵．定理 对任意元二次型，总存在正交线性变换，化为标准形 ， 其中是矩阵的特征值．对于给定的实对称矩阵，如何寻找一个可逆矩阵（或正交矩阵，使为对角矩阵．第五章第三节定理3设是阶实对称矩阵，则存在阶正交矩阵，使 为对角矩阵．对角矩阵的特征值所构成） 它的基础解系为 ．将代入齐次线性方程组，得 单位化得 ．则 ．　 取正交矩阵 作正交线性变换，　 　 则将化为标准形 ．即如果不限于用正交线性变换，那么还可以有多种方法（对应有多个可逆线性变换）把二次型化为标准形．以下介绍拉格朗日配方法，其基本思想是配平方．现举例说明这种方法．例2 找一个可逆线性变换，将二次型 化为标准形． 解 先集中所有含的项并配成完全平方，得， 再将含的项集中并配成完全平方，得 ． ． 令 不难验证，它是一个可逆线性变换，它的逆变换 　 仍是可逆线性变换， 这个线性变换化为标准形 ． 　 例3 用配方法化二次型 为标准形，并求所用的可逆线性变换．解 先集中所有含的项并配成完全平方，得， 再将含的项集中并配成完全平方，得 　 令　 　 　 　 这是一个可逆线性变换，它的逆变换 　 仍是可逆线性变换， 这个线性变换化为标准形 ． 　 例4 用配方法找一个可逆线性变换，将二次型 化为标准形．解 因为中没有平方项，故先作可逆线性变换　 此线性变换化为 ． ． 再用配方法，可得 ． 令 其逆变换为 将两个变化合之，得 　 即 　 　 这是一个可逆线性变换，它将二次型化为标准形 ． 注意　一般地，任何一个二次型，总可用以上例题中的方法，找到可逆线性变换化其为标准形． 本节完．