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第五节 矩阵的秩 North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 一、矩阵的秩 证明 二、矩阵秩的性质 (2) 　；定理　初等变换不改变矩阵的秩． 定义1　在矩阵中任取行、列），位于这行、列交叉处的元素按原来次序组成的阶行列式称为的一个阶子式．定义2　矩阵中不等于零的子式的最高阶数称为的秩，记为，或者，或者．称形如 ，， 的矩阵为上阶梯形矩阵．性质　．例3　设是阶矩阵，证明 注意　对于一般的矩阵，当和都较大时，秩定义求计算的工作量将会很大．例2　求矩阵的秩． 解　对进行初等变换 它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；如该行全为零，则它的下面的行也全为零．性质2　设为矩阵，为阶可逆矩阵，为阶可逆矩阵，则 ．性质3　设为矩阵，为矩阵，则 ．推论　设为矩阵，为矩阵，且，则 ．性质5　设，均为矩阵，则 ．证　当时，由知，故．例4　设均为阶非零矩阵，证明：若，则必有和．证　用反证法． 例5　设阶矩阵满足，证明 ．证　因，注意　　对任意矩阵(1) ；(2) 的充分必要条件是为零矩阵；(3) 如果矩阵具有非零的阶子式，则；(4) 如果矩阵的每一个阶子式全为零，则，矩阵的所有阶子式全为零，从而．例1　设 ．(5) 如果矩阵具有非零的阶子式，并且所有阶子式全为零，则．左上角的阶子式，它的全部阶子式为： ，，，故． ． 3阶子式 ， 的所有4阶子式全为零， 故 ，从而． 上阶梯形矩阵的秩即为非零行的个数．在本章第三节中我们讲过利用初等变换化矩阵为标准形，显然标准形中的个数即是矩阵的秩．性质4　设为矩阵，为矩阵，则 ．当时，，所以．由性质4推论，，从而．又，必有一个阶子式不等于零，所以，从而．当时，的所有阶子式全为零，所以，从而．证毕．类似可证． 故．又 所以 ．证毕．定理　初等变换不改变矩阵的秩． 证 仅就初等行变换进行证明，初等列变换的情形可类似证明．证明的关键是考察初等变换前后子式有无发生零与非零的转变．显然前两种初等行变换都不改变矩阵的秩今对后一种初等行变换证明．设，将的第行的倍加到第行上得矩阵． 下面首先证明．(3) 若含的第行但不含的第行，则由行列式性质，有，这里都是的阶子式，故；任取的一个阶子式（若没有，则已经成立），(1) 若不含的第行，则它就是的阶子式，故；(2) 若含的第行，同时又含的第行，则由行列式性质知，与的一个阶子式相等故；综合以上讨论，的任意阶子式都零，故．其次证明．因将的第行的倍加到第故由上面结果立即可得．所以．证毕． 本节完．　 上述定理的意义在于，我们可以用初等变换把矩阵化为一些易求秩的特殊形式，这样求秩就方便多． 设，则可逆，从而 ， 与假设矛盾，故． 证毕． ． ．