弹性薄板的小挠度弯曲.pptVIP

第五章 薄板的小挠度弯曲 板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯曲问题。 第五章 薄板的小挠度弯曲 §5-1 基本概念与计算假定 §5-2 薄板内力 §5-3 薄板弯曲的基本方程 §5-4 边界条件 §5-5 四边简支矩形薄板的重三角级数解(Navier解) §5-6 矩形薄板的三角级数解(Levy解) §5-7 圆形薄板的弯曲 §5-1 基本概念与计算假定 板 、板面、板边 、板厚 薄膜 薄板：当板厚与板面内最小特征尺寸之比在1/80～1/5之间时 厚板 挠度 小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于1/5 大挠度问题 基尔霍夫假设 （1）直法线假设 （2）σz引起的变形略去不计 （3）中面内各点只有垂直位移w 基尔霍夫假设 （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向下，则根据此假设，有εz=0和γxz=γyz=0。 基尔霍夫假设 （2）与σx，σy ， τxy等相比，σz很小，在计算变形时可以略去不计。 （3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移，即 （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y） 根据这个假设，中面内的应变分量εx，εy和γxy均等于零，即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y）称为挠度函数。 在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析计算中，已得到广泛的应用。 §5-2 薄板内力 根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式。 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 二、薄板中的应力分量表示式 三、薄板横截面上的内力表示式 二、薄板中的应力分量表示式 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为 次要应力分量 按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上，它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程： 三、薄板横截面上的内力表示式 下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。 横向剪力 切应力分量只可能合成横向剪力，在每单位宽度上分别为 应力分量又可通过相应的内力表示 与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。 §5-2 薄板弯曲的基本方程 通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满足和微分方程。薄板弯曲的小挠度问题，是以挠度w作为基本未知函数求解的，属位移解法。 §5-4 边界条件 讨论板边几种常见的边界条件 如果已知作用在板边外力的静力效应，即已知这些外力所产生的弯矩、扭矩和横向剪力，则严格地说，板的三个内力，即弯矩、扭矩和横向剪力的边界值，应一一对应地与这些外加的弯矩、扭矩和横向剪力相等。可见，在每个边界上有三个边界条件。但薄板弯曲的基本方程（5-13）是四阶的椭圆型偏微分方程，根据偏微分方程理论，在每边上，只需要两个边界条件。对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理。 变扭矩为静力等效的横向剪力 对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理：他将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力。这样，就将每边上的三个边界条件归并成两个边界条件。 FRB=（Myx）B+（Mxy）B＝2（Mxy）B （5-16） 集中力的指向，应由扭矩（Mxy）B的符号来判断。 图示为当四个角点上的扭矩都为正时的指向。 §9－5　四边简支矩形薄板的重三角级数解 纳维解答是用多种正弦波形 的叠加来表示挠度 w 的。对于各种形式的荷 载q ，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。 §9－6　矩形薄板的单三角级数解 1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？ 2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？ §9－8　圆形薄板的弯曲 圆板弯曲问题的方程和公