弹性力学圆形薄板.pptVIP

圆形薄板轴对称弯曲问题 主要内容： 一、有关概念及假定 一、基本概念及假设 1、基本概念 ——中面 平分板厚度t的平面简称为中面。 2、假设 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的。 （1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。即 （2）、应力分量 和 远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有： （3）、薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即： 二、弹性曲面的基本公式 1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度ω。因此把其它所有物理量都用ω来表示，即可得弹性曲面的微分方程。 2、板弯曲的解题思路 三、圆形薄板弯曲问题 1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ和φ的函数。即： ω=ω(ρ, φ)，q=q(ρ, φ) 进行坐标变换可得： 则弹性曲面的微分方程可以变换为： 2、如果圆形薄板的边界是绕z轴对称的，它所受的横向载荷也是绕z轴对称的，q只是ρ的函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的，即ω只是ρ的函数，这时，弹性曲面的微分方程将简化为： 此时，从板中取出一单元体，则单元体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为： 应力分别为： 在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，由边界条件来决定。 3、典型问题的边界分析 ※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题 由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。 情况二：假设半径为a的薄板具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即： ※ 对于圆环形薄板。 条件：内外半径分别为a，b的圆环薄板，内边界简支，外边界自由。薄板不受均布横向载荷q，边界上受均布力矩载荷M。 其中，扭矩Mρφ可以变换成等效剪力 小结 对于无孔圆板： 1、无论圆板中心处的情况如何，该处的挠度都不应该无限大。由此可确定常数C等于零。 2、圆板中心处的支承和载荷情况。如果中心处既无支座又无集中载荷，则该处的弯矩和剪力应有限。 四、Mathcad解题应用。 例题：半径为a的圆板在ρ = b处简支（ab），承受均布载荷q，求圆板的最大挠度。 请看Mathcad中的例题解析过程 D为板的抗弯刚度 这个常微分方程的解答是： 对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分方程，可解得N=q/64D。 得特解 ω1=q ρ 4/64D 所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：（解题思路→A、B、C、K） 情况一：假设半径为a的薄板具有固支边界。 则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即 将二式联立解方程组，可得A，K。 联立二式解方程组，可得A，K。 联立二式解方程组，可得A，K。 情况三：假设半径为a的薄板具有简支边界。但无横向载荷q，边界上具有均布力矩载荷M。这时，q等于零，因而特解可以取零。则边界处的挠度等于零，而弯矩等于均布力矩载荷。即： 由于薄板不受横向载荷，所以特解可取零。内外两边界处有四个边界条件。内边界处挠度和弯矩等于零，外边界处弯矩等于均布力矩载荷M，总剪力等于零。即 联立四式解方程组，可得A，B，C，K。 与横向剪力Qr合并而成总的剪力即： ※ 对于载荷径向不连续的圆板 若圆板所受的载荷沿径向不连续，有间断，则必需将该板划分为N个区段，每一区段内载荷沿径向连续。 在每个区段内写出挠度的表达式，其特解项可根据载荷的分布特点选取。每个区段挠度表达式中都有四个待定常数，因此共有4N个待定常数，需要联立4N个方程来求解。 因此，求解的关键还是在于寻求能够列出4N个方程的条件。 3、如果中心处无支座但有集中载荷，则有剪力条件可转化为挠度的条件。 * * 四、Mathcad解题应用 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解 二、弹性曲面的基本公式 ——薄板 板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。 也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。 由几何方程可得 与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。 这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯