弧度和角度的换算 (2).pptVIP

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 * * 在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？ 周角的 为1度的角。 这种用1o角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。 =定值， 设α=no， 弧长为l，半径OA为r， 则 ， 可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。 结论：可以用圆的半径作单位去度量角。 2.定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。 3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1o； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。 4.公式： ， 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。 5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0o角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数： 平角=? rad、周角=2? rad. ③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. ④角?的弧度数的绝对值: （l为弧长，r为半径） ⑤ ∵ 360?=2? rad ，∴180?=? rad ∴ 1?= 1 rad 6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积. ① 弧长公式： 由公式： 比公式 简单. ② 扇形面积公式 其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为no(αrad)，则 又 αR=l，所以 证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad. 所以它的面积是 例1. （1) 把112o30′化成弧度(精确到0.001)； （2）把112o30′化成弧度（用π表示）。 解： （1）112o30′=112.5o， 所以112o30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112o30′=112.5× = . 例2. 把 化成度。 解：1rad= 例3. 填写下表： 弧度 360° 330° 315° 300° 270° 角度 弧度 240° 225° 210° 180° 150° 135° 角度 弧度 120° 90° 60° 45° 30° 0° 角度 0 π 2π 例4. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60o，半径是50米，求 的长l（精确到0.1米）。 解：因为60o= ,所以 l=α·r= ×50≈52.5 . 答： 的长约为52.5米. 例5. 在半径为R的圆中，240o的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。 解：（1）240o= ，根据l=αR，得 （2）根据S= lR= αR2，且S=2R2. 所以 α=4. 例6.与角－1825o的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825o=－5×360o－25o， 所以与角－1825o的终边相同，且绝对值最小的角是－25o. 合 *