弧度和角度的换算 (2).pptVIP

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1.1.2 弧度制和 弧度制与角度制的换算 * * 在初中几何里,我们学习过角的度量,1度的角是怎样定义的呢? 周角的 为1度的角。 这种用1o角作单位来度量角的制度叫做角度制 ,今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 1. 圆心角、弧长和半径之间的关系: 角是由射线绕它的端点旋转而成的,在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧, 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的, 但都对应同一个圆心角。 =定值, 设α=no, 弧长为l,半径OA为r, 则 , 可以看出,等式右端不含 半径,表示弧长与半径的 比值跟半径无关,只与α的 大小有关。 结论:可以用圆的半径作单位去度量角。 2.定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 注:今后在用弧度制表示角的时候,弧度二字或rad可以略去不写。 3. 弧度制与角度制相比: (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;1弧度≠1o; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而1度是圆周 的所对的圆心角的大小; (3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实数表示,而角度制是六十进制; (4)以弧度和度为单位的角,都是一个与半径无关的定值。 4.公式: , 表示的是在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。 5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角,零角既是0o角,又是0 rad角,同一个非零角的度数和弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数: 平角=? rad、周角=2? rad. ③ 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0. ④角?的弧度数的绝对值: (l为弧长,r为半径) ⑤ ∵ 360?=2? rad ,∴180?=? rad ∴ 1?= 1 rad 6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式: 弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. ① 弧长公式: 由公式: 比公式 简单. ② 扇形面积公式 其中l是扇形弧长,R是圆的半径。 证明:设扇形所对的圆心角为no(αrad),则 又 αR=l,所以 证明2:因为圆心角为1 rad的扇形面积是 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad. 所以它的面积是 例1. (1) 把112o30′化成弧度(精确到0.001); (2)把112o30′化成弧度(用π表示)。 解: (1)112o30′=112.5o, 所以112o30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112o30′=112.5× = . 例2. 把 化成度。 解:1rad= 例3. 填写下表: 弧度 360° 330° 315° 300° 270° 角度 弧度 240° 225° 210° 180° 150° 135° 角度 弧度 120° 90° 60° 45° 30° 0° 角度 0 π 2π 例4. 扇形AOB中, 所对的圆心角是60o,半径是50米,求 的长l(精确到0.1米)。 解:因为60o= ,所以 l=α·r= ×50≈52.5 . 答: 的长约为52.5米. 例5. 在半径为R的圆中,240o的中心角所对的弧长为 ,面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。 解:(1)240o= ,根据l=αR,得 (2)根据S= lR= αR2,且S=2R2. 所以 α=4. 例6.与角-1825o的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 解:-1825o=-5×360o-25o, 所以与角-1825o的终边相同,且绝对值最小的角是-25o. 合 *

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